Упр.2.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Имеет ли последовательность, заданная формулой n-го члена предел: а) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}$$; в) $$a_n=\frac{(-1)^n}{2n^2}$$; б) $$a_n=\frac{5+(-1)^n}{n^4}$$; г) $$a_n=\frac{(-1)^n-3}{12}$$?
Проверим предел последовательности по чётным и нечётным значениям n.
а) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}$$
Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^{n+1}=-1$$, и
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{(n+1)^2}=0.$$
Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^{n+1}=1$$, и
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=0.$$
Следовательно, предел существует.
б) $$a_n=\frac{5+(-1)^n}{n^4}$$
Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, значит
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{6}{n^4}=0.$$
Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, значит
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^4}=0.$$
Следовательно, предел существует.
в) $$a_n=\frac{(-1)^n}{2n^2}$$
Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, и
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^2}=0.$$
Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, и
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{2n^2}=0.$$
Следовательно, предел существует.
г) $$a_n=\frac{(-1)^n-3}{12}$$
Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, значит
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1-3}{12}=-\frac{1}{6}.$$
Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, значит
$$\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{-1-3}{12}=-\frac{1}{3}.$$
Получаются разные значения, значит предел не существует.
Ответ
а) да; б) да; в) да; г) нет.
