Упр.2.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) a_n=(-1)^(n+1)/(n+1)^2; в) a_n=(-1)^n/2n^2;
б) a_n=(5+(-1)^n)/n^4; г) a_n=((-1)^n-3)/12?

Проверим предел последовательности по чётным и нечётным значениям n.

а) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}$$

Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^{n+1}=-1$$, и

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{(n+1)^2}=0.$$

Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^{n+1}=1$$, и

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=0.$$

Следовательно, предел существует.

б) $$a_n=\frac{5+(-1)^n}{n^4}$$

Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, значит

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{6}{n^4}=0.$$

Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, значит

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^4}=0.$$

Следовательно, предел существует.

в) $$a_n=\frac{(-1)^n}{2n^2}$$

Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, и

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^2}=0.$$

Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, и

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{2n^2}=0.$$

Следовательно, предел существует.

г) $$a_n=\frac{(-1)^n-3}{12}$$

Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, значит

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1-3}{12}=-\frac{1}{6}.$$

Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, значит

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{-1-3}{12}=-\frac{1}{3}.$$

Получаются разные значения, значит предел не существует.

Ответ

а) да; б) да; в) да; г) нет.