Упр.2.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите справедливость равенства:
   а) $$\lim_{n\to\infty}\frac{5-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=-1$$;
   б) $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+2}=1$$.

а) Преобразуем дробь:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n}}-1\right).$$

Так как $$\lim_{n\to\infty}\frac{5}{\sqrt{n}}=0,$$ то

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n}}-1\right)=0-1=-1.$$

б) Разделим числитель и знаменатель на $$\sqrt{n}$$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}.$$

Так как $$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{n}}=0,$$ получаем

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{n}}}=\frac{1}{1+0}=1.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$1$$.