Упр.2.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите при $$n>?$$ $$\lim(x_n)$$:
   а) $$x_n=\frac{(4n-1)(2n+5)-8n^2-10n}{n-3}$$;
   б) $$x_n=\frac{n^2(2n+5)-n(2n^2+5n)-13}{n(n+1)(n-7)-(n-1)}$$;
   в) $$x_n=\frac{n^3-(n-1)(n^2+1)}{n^2+2n}$$;
   г) $$x_n=\frac{(3n-2)(2n-3)-6n^2+20n}{n+2}$$;
   д) $$x_n=\frac{n(n^2-3)-n(n^2-7)-1}{(n+1)(n+2)+(2n^2+1)}$$;
   е) $$x_n=\frac{(2n-1)(n^2+1)-2n^3}{n^2-3n}$$.

1. а)

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{(4n-1)(2n+5)-8n^2-10n}{n-3}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{8n^2+20n-2n-5-8n^2-10n}{n-3}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{8n-5}{n-3}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{8-\frac{5}{n}}{1-\frac{3}{n}}=8.$$

2. б)

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(2n+5)-n(2n^2+5n)-13}{n(n+1)(n-7)-(n-1)}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+5n^2-2n^3-5n^2-13}{n(n+1)(n-7)-(n-1)}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{-13}{n(n+1)(n-7)-(n-1)}=0.$$

3. в)

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-(n-1)(n^2+1)}{n^2+2n}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-(n^3-n^2+n-1)}{n^2+2n}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}=1.$$

4. г)

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n-2)(2n-3)-6n^2+20n}{n+2}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{6n^2-9n-4n+6-6n^2+20n}{n+2}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{7n+6}{n+2}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{7+\frac{6}{n}}{1+\frac{2}{n}}=7.$$

5. д)

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n(n^2-3)-n(n^2-7)-1}{(n+1)(n+2)+(2n^2+1)}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-3n-n^3+7n-1}{n^2+3n+2+2n^2+1}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}}=0.$$

6. е)

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)(n^2+1)-2n^3}{n^2-3n}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3-n^2+2n-1-2n^3}{n^2-3n}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2+2n-1}{n^2-3n}$$
   $$=\lim_{n\to\infty}\frac{-1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{3}{n}}=-1.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$7$$; д) $$0$$; е) $$-1$$.