Упр.2.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) x_n=(n^2+2)/n^2; г) x_n=(n^2-11)/n^2;
б) x_n=(4-4n+n^2)/n^2; д) x_n=(5n-4-2n^2)/n^2;
в) x_n=(2n^3+n^2+1)/n^3; е) x_n=(4n^3-3n^2+n)/n^3.

Найдём пределы последовательностей, разделив числитель и знаменатель на наибольшую степень $n$ в каждом выражении.

а) $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n^2}\right)=1+0=1;$$

б) $$\lim_{n\to\infty}\frac{4-4n+n^2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{n^2}-\frac{4}{n}+1\right)=0-0+1=1;$$

в) $$\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3+n^2+1}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)=2+0+0=2;$$

г) $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-11}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{11}{n^2}\right)=1-0=1;$$

д) $$\lim_{n\to\infty}\frac{5n-4-2n^2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{n}-\frac{4}{n^2}-2\right)=0-0-2=-2;$$

е) $$\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3-3n^2+n}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left(4-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=4-0+0=4.$$

Ответ

а) $1$; б) $1$; в) $2$; г) $1$; д) $-2$; е) $4$.