Дополнительная задача 2 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение:

Прямоугольник имеет вершины $$A(1;0),\ B(1;3),\ C(5;3),\ D(5;0).$$

При вращении вокруг оси абсцисс получается цилиндр.

Его радиус равен расстоянию от точки с ординатой $$3$$ до оси $$Ox$$:

$$R=AB=3-0=3.$$

Высота цилиндра равна длине отрезка $$AD$$:

$$h=AD=5-1=4.$$

Тогда объём цилиндра:

$$V=\pi R^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 4=36\pi.$$

Если $$1\le x\le 5,$$ то при вращении отрезка с абсциссой $$x$$ получается круг радиуса $$3$$, поэтому

$$S(x)=\pi R^2=\pi\cdot 3^2=9\pi.$$

Объём тела можно найти интегрированием площади поперечного сечения:

$$ V=\int\limits_{1}^{5} S(x)\,dx =\int\limits_{1}^{5} 9\pi\,dx =9\pi(5-1)=36\pi. $$

Ответ

$$R=3,\quad h=4,\quad V=36\pi,\quad S(x)=9\pi.$$