Дополнительная задача 2 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Найдите f(4);
б) найдите f'(4);
в) составьте уравнение касательной при x=4;
г) найдите точку пересечения касательной с осью ординат;
д) найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс;
е) найдите подкасательную.

Дана функция $$f(x)=\sqrt{x}.$$

1. Найдём значение функции при $$x=4$$:

   $$f(4)=\sqrt{4}=2.$$

2. Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Тогда

   $$f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}.$$

3. Составим уравнение касательной в точке $$x=4$$:

   $$y=f(4)+f'(4)(x-4)=2+\frac14(x-4).$$

   Упростим:

   $$y=\frac{x}{4}+1.$$

4. Найдём точку пересечения касательной с осью ординат $$Oy$$. При $$x=0$$:

   $$y=\frac{0}{4}+1=1.$$

   Значит, точка пересечения: $$\left(0;1\right).$$

5. Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс $$Ox$$. При $$y=0$$:

   $$\frac{x}{4}+1=0,$$

   $$x=-4.$$

   Значит, точка пересечения: $$\left(-4;0\right).$$

6. Подкасательная — это отрезок на оси $$Ox$$ от начала координат до точки пересечения касательной с осью абсцисс. Поэтому её длина равна

   $$|-4|=4.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac14$$; в) $$y=\frac{x}{4}+1$$; г) $$\left(0;1\right)$$; д) $$\left(-4;0\right)$$; е) $$4$$.