Дополнительная задача 2 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Мордкович, Семенов, Александрова
11 класс
Класс
11
Предмет
Алгебра
Автор
Мордкович, Семенов, Александрова
Дополнительная задача 2 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задача
- Прямоугольник \(П\) с вершинами в точках $$A(1; 0),\ B(1; 3),\ C(5; 3),\ D(5; 0)$$ вращают на $$360^\circ$$ вокруг оси $$Ox$$ (рис. 130). Проверьте, что:
а) радиус основания $$R$$ цилиндра из задачи 1 «е» равен $$3$$, а его высота $$H$$ равна $$4$$;
б) объём этого цилиндра равен $$36\pi$$;
в) для каждого $$1\leq x\leq 5$$ отрезок $$[(x; 0), (x; 3)]$$ образует круг;
г) радиус этого круга равен $$3$$;
д) площадь круга из пунктов «а» и «б» находится по формуле $$S(x)=9\pi$$;
е) $$\int\limits_1^5 S(x)\,dx=36\pi$$, т. е. равен объёму цилиндра, вычисленному в пункте «б».
Подробный ответ
Прямоугольник имеет вершины $$A(1;0),\ B(1;3),\ C(5;3),\ D(5;0).$$
При вращении вокруг оси абсцисс получается цилиндр.
Его радиус равен расстоянию от точки с ординатой $$3$$ до оси $$Ox$$:
$$R=AB=3-0=3.$$
Высота цилиндра равна длине отрезка $$AD$$:
$$h=AD=5-1=4.$$
Тогда объём цилиндра:
$$V=\pi R^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 4=36\pi.$$
Если $$1\le x\le 5,$$ то при вращении отрезка с абсциссой $$x$$ получается круг радиуса $$3$$, поэтому
$$S(x)=\pi R^2=\pi\cdot 3^2=9\pi.$$
Объём тела можно найти интегрированием площади поперечного сечения:
$$V=\int\limits_{1}^{5} S(x)\,dx =\int\limits_{1}^{5} 9\pi\,dx =9\pi(5-1)=36\pi.$$
Ответ
$$R=3,\quad h=4,\quad V=36\pi,\quad S(x)=9\pi.$$
Другие учебники
Другие предметы