Упр.2.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких значениях параметра p уравнение |x^2 + v(x — 4p)| = |v(x — 4p) — 4x + 4| имеет на отрезке [-2; 2] единственный корень?
Рассмотрим уравнение
$$\left|x^2+\sqrt{x-4p}\right|=\left|\sqrt{x-4p}-4x+4\right|.$$
Так как модуль равен модулю, возможны два случая.
$$x^2+\sqrt{x-4p}=\sqrt{x-4p}-4x+4.$$
Тогда
$$x^2+4x-4=0.$$
Отсюда
$$x=-2\pm 2\sqrt2.$$
Чтобы корень принадлежал отрезку $$[-2;2]$$, подходит только
$$x=2\sqrt2-2.$$
Кроме того, должно выполняться условие существования корня:
$$x-4p\ge 0,$$
то есть
$$p\le \frac{x}{4}=\frac{2\sqrt2-2}{4}=\frac{\sqrt2-1}{2}.$$
$$x^2+\sqrt{x-4p}=4x-4-\sqrt{x-4p}.$$
Тогда
$$x^2-4x+4+2\sqrt{x-4p}=0,$$
или
$$\left(x-2\right)^2+2\sqrt{x-4p}=0.$$
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$x-2=0,\qquad x-4p=0.$$
Отсюда
$$x=2,\qquad p=\frac{2}{4}=\frac12.$$
Следовательно, на отрезке $$[-2;2]$$ уравнение имеет единственный корень при
$$p\le \frac{\sqrt2-1}{2} \quad \text{или} \quad p=\frac12.$$
Ответ
$$p\le \frac{\sqrt2-1}{2},\quad p=\frac12.$$
