Упр.2.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$\left|x^2+v(x-4p)\right|=\left|v(x-4p)-4x+4\right|$$ имеет на отрезке $$[-2;2]$$ единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$\left|x^2+\sqrt{x-4p}\right|=\left|\sqrt{x-4p}-4x+4\right|.$$

Так как модуль равен модулю, возможны два случая.

1. $$x^2+\sqrt{x-4p}=\sqrt{x-4p}-4x+4.$$

   Тогда

   $$x^2+4x-4=0.$$

   Отсюда

   $$x=-2\pm 2\sqrt2.$$

   Чтобы корень принадлежал отрезку $$[-2;2]$$, подходит только

   $$x=2\sqrt2-2.$$

   Кроме того, должно выполняться условие существования корня:

   $$x-4p\ge 0,$$

   то есть

   $$p\le \frac{x}{4}=\frac{2\sqrt2-2}{4}=\frac{\sqrt2-1}{2}.$$

2. $$x^2+\sqrt{x-4p}=4x-4-\sqrt{x-4p}.$$

   Тогда

   $$x^2-4x+4+2\sqrt{x-4p}=0,$$

   или

   $$\left(x-2\right)^2+2\sqrt{x-4p}=0.$$

   Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

   $$x-2=0,\qquad x-4p=0.$$

   Отсюда

   $$x=2,\qquad p=\frac{2}{4}=\frac12.$$

Следовательно, на отрезке $$[-2;2]$$ уравнение имеет единственный корень при

$$p\le \frac{\sqrt2-1}{2} \quad \text{или} \quad p=\frac12.$$

Ответ

$$p\le \frac{\sqrt2-1}{2},\quad p=\frac12.$$