Упр.2.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x — 4v(x — 1) + 2 = 0; г) x — 5v(x + 1) + 5 = 0;
б) v(x^3 — 2x^2 — 5x + 7) = 2 — x; д) v(x^3 — 4x^2 — 17x + 61) = 4 — x;
в) v(x^2 — 5x + 20) + x^2 = 5x; е) v(x^2 — 6x + 30) + x^2 = 6x.

Подробный ответ

а) $$x-4\sqrt{x-1}+2=0$$
Положим $$y=\sqrt{x-1}$$, тогда $$x=y^2+1$$. Получаем:
$$y^2+1-4y+2=0$$
$$y^2-4y+3=0$$
$$ (y-1)(y-3)=0 $$
$$y=1 \text{ или } y=3$$
Тогда:
$$\sqrt{x-1}=1 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2$$
$$\sqrt{x-1}=3 \Rightarrow x-1=9 \Rightarrow x=10$$
б) $$\sqrt{x^3-2x^2-5x+7}=2-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$2-x\ge 0$$, то есть $$x\le 2$$.
Возведём в квадрат:
$$x^3-2x^2-5x+7=(2-x)^2=x^2-4x+4$$
$$x^3-3x^2-x+3=0$$
$$x^2(x-3)-1(x-3)=0$$
$$ (x^2-1)(x-3)=0 $$
$$ (x-1)(x+1)(x-3)=0 $$
Отсюда $$x=-1,\,1,\,3$$. С учётом условия $$x\le 2$$ остаются:
$$x=-1,\;1$$
в) $$\sqrt{x^2-5x+20}+x^2=5x$$
Положим $$y=x^2-5x$$. Тогда:
$$\sqrt{y+20}+y=0$$
$$\sqrt{y+20}=-y$$, значит $$y\le 0$$.
Возведём в квадрат:
$$y+20=y^2$$
$$y^2-y-20=0$$
$$ (y-5)(y+4)=0 $$
$$y=5 \text{ или } y=-4$$
С учётом $$y\le 0$$ подходит только $$y=-4$$.
Тогда:
$$x^2-5x=-4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$ (x-1)(x-4)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=4$$
г) $$x-5\sqrt{x+1}+5=0$$
Положим $$y=\sqrt{x+1}$$, тогда $$x=y^2-1$$. Получаем:
$$y^2-1-5y+5=0$$
$$y^2-5y+4=0$$
$$ (y-1)(y-4)=0 $$
$$y=1 \text{ или } y=4$$
Тогда:
$$\sqrt{x+1}=1 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0$$
$$\sqrt{x+1}=4 \Rightarrow x+1=16 \Rightarrow x=15$$
д) $$\sqrt{x^3-4x^2-17x+61}=4-x$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$4-x\ge 0$$, то есть $$x\le 4$$.
Возведём в квадрат:
$$x^3-4x^2-17x+61=(4-x)^2=x^2-8x+16$$
$$x^3-5x^2-9x+45=0$$
$$x^2(x-5)-9(x-5)=0$$
$$ (x^2-9)(x-5)=0 $$
$$ (x-3)(x+3)(x-5)=0 $$
Отсюда $$x=-3,\,3,\,5$$. С учётом условия $$x\le 4$$ остаются:
$$x=-3,\;3$$
е) $$\sqrt{x^2-6x+30}+x^2=6x$$
Положим $$y=x^2-6x$$. Тогда:
$$\sqrt{y+30}+y=0$$
$$\sqrt{y+30}=-y$$, значит $$y\le 0$$.
Возведём в квадрат:
$$y+30=y^2$$
$$y^2-y-30=0$$
$$ (y-6)(y+5)=0 $$
$$y=6 \text{ или } y=-5$$
С учётом $$y\le 0$$ подходит только $$y=-5$$.
Тогда:
$$x^2-6x=-5$$
$$x^2-6x+5=0$$
$$ (x-1)(x-5)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=5$$