Упр.2.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x — 4\sqrt{x — 1} + 2 = 0$$; г) $$x — 5\sqrt{x + 1} + 5 = 0$$; б) $$\sqrt{x^3 — 2x^2 — 5x + 7} = 2 — x$$; д) $$\sqrt{x^3 — 4x^2 — 17x + 61} = 4 — x$$; в) $$\sqrt{x^2 — 5x + 20} + x^2 = 5x$$; е) $$\sqrt{x^2 — 6x + 30} + x^2 = 6x$$.

1. а) $$x-4\sqrt{x-1}+2=0$$

   Положим $$y=\sqrt{x-1}$$, тогда $$x=y^2+1$$. Получаем:

   $$y^2+1-4y+2=0$$

   $$y^2-4y+3=0$$

   $$(y-1)(y-3)=0$$

   $$y=1 \text{ или } y=3$$

   Тогда:

   $$\sqrt{x-1}=1 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2$$

   $$\sqrt{x-1}=3 \Rightarrow x-1=9 \Rightarrow x=10$$

2. б) $$\sqrt{x^3-2x^2-5x+7}=2-x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$2-x\ge 0$$, то есть $$x\le 2$$.

   Возведём в квадрат:

   $$x^3-2x^2-5x+7=(2-x)^2=x^2-4x+4$$

   $$x^3-3x^2-x+3=0$$

   $$x^2(x-3)-1(x-3)=0$$

   $$(x^2-1)(x-3)=0$$

   $$(x-1)(x+1)(x-3)=0$$

   Отсюда $$x=-1,\,1,\,3$$. С учётом условия $$x\le 2$$ остаются:

   $$x=-1,\;1$$

3. в) $$\sqrt{x^2-5x+20}+x^2=5x$$

   Положим $$y=x^2-5x$$. Тогда:

   $$\sqrt{y+20}+y=0$$

   $$\sqrt{y+20}=-y$$, значит $$y\le 0$$.

   Возведём в квадрат:

   $$y+20=y^2$$

   $$y^2-y-20=0$$

   $$(y-5)(y+4)=0$$

   $$y=5 \text{ или } y=-4$$

   С учётом $$y\le 0$$ подходит только $$y=-4$$.

   Тогда:

   $$x^2-5x=-4$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$(x-1)(x-4)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=4$$

4. г) $$x-5\sqrt{x+1}+5=0$$

   Положим $$y=\sqrt{x+1}$$, тогда $$x=y^2-1$$. Получаем:

   $$y^2-1-5y+5=0$$

   $$y^2-5y+4=0$$

   $$(y-1)(y-4)=0$$

   $$y=1 \text{ или } y=4$$

   Тогда:

   $$\sqrt{x+1}=1 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0$$

   $$\sqrt{x+1}=4 \Rightarrow x+1=16 \Rightarrow x=15$$

5. д) $$\sqrt{x^3-4x^2-17x+61}=4-x$$

   Так как правая часть неотрицательна, то $$4-x\ge 0$$, то есть $$x\le 4$$.

   Возведём в квадрат:

   $$x^3-4x^2-17x+61=(4-x)^2=x^2-8x+16$$

   $$x^3-5x^2-9x+45=0$$

   $$x^2(x-5)-9(x-5)=0$$

   $$(x^2-9)(x-5)=0$$

   $$(x-3)(x+3)(x-5)=0$$

   Отсюда $$x=-3,\,3,\,5$$. С учётом условия $$x\le 4$$ остаются:

   $$x=-3,\;3$$

6. е) $$\sqrt{x^2-6x+30}+x^2=6x$$

   Положим $$y=x^2-6x$$. Тогда:

   $$\sqrt{y+30}+y=0$$

   $$\sqrt{y+30}=-y$$, значит $$y\le 0$$.

   Возведём в квадрат:

   $$y+30=y^2$$

   $$y^2-y-30=0$$

   $$(y-6)(y+5)=0$$

   $$y=6 \text{ или } y=-5$$

   С учётом $$y\le 0$$ подходит только $$y=-5$$.

   Тогда:

   $$x^2-6x=-5$$

   $$x^2-6x+5=0$$

   $$(x-1)(x-5)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=5$$

Ответ

а) $$2,\;10$$; б) $$-1,\;1$$; в) $$1,\;4$$; г) $$0,\;15$$; д) $$-3,\;3$$; е) $$1,\;5$$.