Упр.2.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) v((2x^2 — 3x + 1) / (x — 3)); г) v((2x^2 — 3x + 1) / v(3 — x));
б) v((x — 3) / v(2x^2 — 3x + 1)); д) v(3 — x) / (2x^2 — 3x + 1);
в) v(2x^2 — 3x + 1) / v(x — 3); е) v(2x^2 — 3x + 1) / (x — 3).

Подробный ответ

а) Для выражения $$\sqrt{\dfrac{2x^2-3x+1}{x-3}}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и знаменатель не равнялся нулю:
$$\dfrac{2x^2-3x+1}{x-3}\ge 0,\qquad x\ne 3.$$
Разложим числитель на множители:
$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1).$$
Тогда
$$\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x-3}\ge 0.$$
По знакам получаем:
$$x\in\left[\dfrac12;1\right]\cup(3;+\infty).$$
б) Для выражения $$\sqrt{\dfrac{x-3}{2x^2-3x+1}}$$ требуется:
$$\dfrac{x-3}{2x^2-3x+1}\ge 0,\qquad 2x^2-3x+1\ne 0.$$
Так как $$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1),$$ то
$$\dfrac{x-3}{(2x-1)(x-1)}\ge 0.$$
С учётом точек разрыва $$x=\dfrac12,\;1$$ и нуля числителя $$x=3$$ получаем:
$$x\in\left(\dfrac12;1\right)\cup[3;+\infty).$$
в) Для выражения $$\dfrac{\sqrt{2x^2-3x+1}}{\sqrt{x-3}}$$ нужно:
$$2x^2-3x+1\ge 0,\qquad x-3>0.$$
Первое неравенство даёт
$$x\le \dfrac12 \quad \text{или} \quad x\ge 1,$$
а второе:
$$x>3.$$
Пересечение условий:
$$x\in(3;+\infty).$$
г) Для выражения $$\dfrac{\sqrt{2x^2-3x+1}}{\sqrt{3-x}}$$ нужно:
$$2x^2-3x+1\ge 0,\qquad 3-x>0.$$
То есть
$$x\le \dfrac12 \quad \text{или} \quad x\ge 1,$$
и одновременно
$$x<3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;\dfrac12]\cup[1;3).$$
д) Для выражения $$\dfrac{\sqrt{3-x}}{2x^2-3x+1}$$ нужно:
$$3-x\ge 0,\qquad 2x^2-3x+1\ne 0.$$
Отсюда
$$x\le 3,\qquad x\ne \dfrac12,\; x\ne 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;\dfrac12)\cup\left(\dfrac12;1\right)\cup(1;3].$$
е) Для выражения $$\dfrac{\sqrt{2x^2-3x+1}}{x-3}$$ нужно:
$$2x^2-3x+1\ge 0,\qquad x\ne 3.$$
То есть
$$x\le \dfrac12 \quad \text{или} \quad x\ge 1,$$
и дополнительно $$x\ne 3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;\dfrac12]\cup[1;3)\cup(3;+\infty).$$