Упр.2.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) положителен; г) больше 0,5;
б) больше 1; д) больше 0,7;
в) равен 0,5; е) меньше 0,8. Решите уравнение:
а) log_3(2+log_2(x+2))=0; в) log_5(lg(x+1))=0;
б) log_(1/3)(1+log_2(2^x-7))=-1; г) log_(1/4)(1+log_3(3^x-54))=-1.

Найдём предел последовательности:

$$ z_n=\frac{an+3}{(2+a)n-3} $$

При $$n\to\infty$$ получаем

$$ \lim_{n\to\infty} z_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a+\frac{3}{n}}{2+a-\frac{3}{n}}=\frac{a}{a+2}. $$

Так как $$a\in\{1,2,\dots,10\}$$, проверяем условия:

1. $$\frac{a}{a+2}>0$$

   Это верно для всех $$a=1,2,\dots,10$$, значит

   $$P=1.$$

2. $$\frac{a}{a+2}>1$$

   При $$a>0$$ это невозможно, значит

   $$P=0.$$

3. $$\frac{a}{a+2}=0{,}5$$

   $$ 2a=a+2,\quad a=2. $$

   Подходит одно значение из 10, значит

   $$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$

4. $$\frac{a}{a+2}>0{,}5$$

   $$ 2a>a+2,\quad a>2. $$

   Подходят $$a=3,4,5,6,7,8,9,10$$ — 8 значений из 10, значит

   $$P=\frac{8}{10}=0{,}8.$$

5. $$\frac{a}{a+2}>0{,}7$$

   $$ 10a>7a+14,\quad 3a>14,\quad a>\frac{14}{3}. $$

   Подходят $$a=5,6,7,8,9,10$$ — 6 значений из 10, значит

   $$P=\frac{6}{10}=0{,}6.$$

6. $$\frac{a}{a+2}<0{,}8$$

   $$ 10a<8a+16,\quad 2a<16,\quad a<8. $$

   Подходят $$a=1,2,3,4,5,6,7$$ — 7 значений из 10, значит

   $$P=\frac{7}{10}=0{,}7.$$

Решим уравнения.

1. $$\log_3\!\bigl(2+\log_2(x+2)\bigr)=0$$

   $$ 2+\log_2(x+2)=1 $$

   $$ \log_2(x+2)=-1 $$

   $$ x+2=\frac12,\quad x=-\frac32. $$

2. $$\log_{\frac13}\!\bigl(1+\log_2(2^x-7)\bigr)=-1$$

   $$ 1+\log_2(2^x-7)=3 $$

   $$ \log_2(2^x-7)=2 $$

   $$ 2^x-7=4,\quad 2^x=11,\quad x=\log_2 11. $$

3. $$\log_5(\lg(x+1))=0$$

   $$ \lg(x+1)=1 $$

   $$ x+1=10,\quad x=9. $$

4. $$\log_{\frac14}\!\bigl(1+\log_3(3^x-54)\bigr)=-1$$

   $$ 1+\log_3(3^x-54)=4 $$

   $$ \log_3(3^x-54)=3 $$

   $$ 3^x-54=27,\quad 3^x=81,\quad x=4. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$0{,}1$$; г) $$0{,}8$$; д) $$0{,}6$$; е) $$0{,}7$$.

а) $$-\frac32$$; б) $$\log_2 11$$; в) $$9$$; г) $$4$$.