Упр.2.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- В последовательности $$z_n=\frac{an+3}{(2+a)n-3}$$, $$n\in\mathbb{N}$$, значение коэффициента $$a$$ наудачу выбирают из чисел $$1,2,\ldots,10$$. Найдите вероятность того, что $$\lim_{n\to\infty}z_n$$: а) положителен; б) больше $$1$$; в) равен $$0{,}5$$; г) больше $$0{,}5$$; д) больше $$0{,}7$$; е) меньше $$0{,}8$$.
- Решите уравнение: а) $$\log_3\left(2+\log_2(x+2)\right)=0$$; в) $$\log_5\left(\lg(x+1)\right)=0$$; б) $$\log_{\frac13}\left(1+\log_2(2^x-7)\right)=-1$$; г) $$\log_{\frac14}\left(1+\log_3(3^x-54)\right)=-1$$.
Найдём предел последовательности:
$$z_n=\frac{an+3}{(2+a)n-3}$$
При $$n\to\infty$$ получаем
$$\lim_{n\to\infty} z_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a+\frac{3}{n}}{2+a-\frac{3}{n}}=\frac{a}{a+2}.$$
Так как $$a\in\{1,2,\dots,10\}$$, проверяем условия:
$$\frac{a}{a+2}>0$$
Это верно для всех $$a=1,2,\dots,10$$, значит
$$P=1.$$
$$\frac{a}{a+2}>1$$
При $$a>0$$ это невозможно, значит
$$P=0.$$
$$\frac{a}{a+2}=0{,}5$$
$$2a=a+2,\quad a=2.$$
Подходит одно значение из 10, значит
$$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$
$$\frac{a}{a+2}>0{,}5$$
$$2a>a+2,\quad a>2.$$
Подходят $$a=3,4,5,6,7,8,9,10$$ — 8 значений из 10, значит
$$P=\frac{8}{10}=0{,}8.$$
$$\frac{a}{a+2}>0{,}7$$
$$10a>7a+14,\quad 3a>14,\quad a>\frac{14}{3}.$$
Подходят $$a=5,6,7,8,9,10$$ — 6 значений из 10, значит
$$P=\frac{6}{10}=0{,}6.$$
$$\frac{a}{a+2}<0{,}8$$
$$10a<8a+16,\quad 2a<16,\quad a<8.$$
Подходят $$a=1,2,3,4,5,6,7$$ — 7 значений из 10, значит
$$P=\frac{7}{10}=0{,}7.$$
Решим уравнения.
$$\log_3\!\bigl(2+\log_2(x+2)\bigr)=0$$
$$2+\log_2(x+2)=1$$
$$\log_2(x+2)=-1$$
$$x+2=\frac12,\quad x=-\frac32.$$
$$\log_{\frac13}\!\bigl(1+\log_2(2^x-7)\bigr)=-1$$
$$1+\log_2(2^x-7)=3$$
$$\log_2(2^x-7)=2$$
$$2^x-7=4,\quad 2^x=11,\quad x=\log_2 11.$$
$$\log_5(\lg(x+1))=0$$
$$\lg(x+1)=1$$
$$x+1=10,\quad x=9.$$
$$\log_{\frac14}\!\bigl(1+\log_3(3^x-54)\bigr)=-1$$
$$1+\log_3(3^x-54)=4$$
$$\log_3(3^x-54)=3$$
$$3^x-54=27,\quad 3^x=81,\quad x=4.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$0{,}1$$; г) $$0{,}8$$; д) $$0{,}6$$; е) $$0{,}7$$.
а) $$-\frac32$$; б) $$\log_2 11$$; в) $$9$$; г) $$4$$.
