Упр.2.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ используем формулы:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_1=S(1-q), \qquad q=1-\frac{b_1}{S}.$$

1. а) $$b_1=4,\ q=0{,}5$$

   $$S=\frac{4}{1-0{,}5}=\frac{4}{0{,}5}=8.$$

2. б) $$b_1=-6,\ q=-0{,}2$$

   $$S=\frac{-6}{1-(-0{,}2)}=\frac{-6}{1{,}2}=-5.$$

3. в) $$S=2,\ q=0{,}3$$

   $$b_1=2(1-0{,}3)=2\cdot 0{,}7=1{,}4.$$

4. г) $$S=-3,\ q=-0{,}3$$

   $$b_1=-3(1-(-0{,}3))=-3\cdot 1{,}3=-3{,}9.$$

5. д) $$S=\sqrt{2}+1,\ b_1=1$$

   $$q=1-\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1-\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}.$$

6. е) $$S=1000000,\ b_1=1000$$

   $$q=1-\frac{1000}{1000000}=1-0{,}001=0{,}999.$$

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{x+2}, & x\le -3,\\ -x^2+5, & -3<x\le 2,\\ \log_2 x, & x>2. \end{cases}$$

а) Вычислим значения функции:

$$f(-4)=\frac{4}{-4+2}=\frac{4}{-2}=-2,$$

$$f(-3)=\frac{4}{-3+2}=\frac{4}{-1}=-4,$$

$$f(-2)=-(-2)^2+5=-4+5=1,$$

$$f(2)=-2^2+5=-4+5=1,$$

$$f(8)=\log_2 8=\log_2 2^3=3.$$

б) График функции состоит из трёх частей:

• $$y=\frac{4}{x+2}$$ при $$x\le -3$$;
• $$y=-x^2+5$$ при $$-3<x\le 2$$;
• $$y=\log_2 x$$ при $$x>2$$.

Ключевые точки: $$(-3,-4)$$, $$(-2,1)$$, $$\left(0,5\right)$$, $$\left(2,1\right)$$, $$\left(8,3\right)$$.

в) Область определения и множество значений:

$$D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=[-4;+\infty).$$

Функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[0;2]$$, возрастает на $$[-3;0]$$ и $$[2;+\infty).$$

Горизонтальная асимптота при $$x\to -\infty$$: $$y=0.$$

г) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственный корень при

$$p\in\{-4\}\cup[0;1)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

а) $$8;\ -5;\ 1{,}4;\ -3{,}9;\ 2-\sqrt{2};\ 0{,}999.$$

б) $$f(-4)=-2,\ f(-3)=-4,\ f(-2)=1,\ f(2)=1,\ f(8)=3.$$

в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[-4;+\infty).$$

г) $$p\in\{-4\}\cup[0;1)\cup(5;+\infty).$$