Упр.2.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) sin(x) + sin^2(x) + sin^3(x) + sin^4(x) + … < 1; x != ?/2 + ?n, n ? Z;
б) cos(x) + cos^2(x) + cos^3(x) + cos^4(x) + ... ? 1/3; x != ?n, n ? Z. Решите неравенство:
а) 6^x+6^(x+2)?222;
б) 3·(1/v3)^(2x)-10·(1/v3)^x+3<0;
в) 5^(2x)<3^x;
г) 7^(x+1)-7^x?294;
д) (1/5)^(x-1)-26·(1/v5)^x+5>0;
е) 4^x>(1/5)^(2x).
а) Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:
$$\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\sin^4 x+\dots$$
Здесь $$b_1=\sin x,\quad q=\sin x.$$ Тогда
$$S=\frac{\sin x}{1-\sin x}.$$
По условию:
$$\frac{\sin x}{1-\sin x}<1.$$
Так как $$1-\sin x>0$$ при $$\sin x\ne 1,$$ получаем
$$\sin x<1-\sin x,$$
$$2\sin x<1,$$
$$\sin x<\frac12.$$
Отсюда
$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Аналогично:
$$\cos x+\cos^2 x+\cos^3 x+\cos^4 x+\dots \le \frac13.$$
Это геометрическая прогрессия с $$b_1=\cos x,\quad q=\cos x,$$ поэтому
$$S=\frac{\cos x}{1-\cos x}\le \frac13.$$
Тогда
$$3\cos x\le 1-\cos x,$$
$$4\cos x\le 1,$$
$$\cos x\le \frac14.$$
Следовательно,
$$\arccos\frac14+2\pi n\le x\le 2\pi-\arccos\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$6^x+6^{x+2}\le 222$$
$$6^x+36\cdot 6^x\le 222$$
$$37\cdot 6^x\le 222$$
$$6^x\le 6,$$
$$x\le 1.$$
б) $$3\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2x}-10\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x+3<0$$
Пусть $$y=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x,$$ тогда
$$3y^2-10y+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad y_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-3)<0,$$
$$\frac13<y<3.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x>\frac13 \Rightarrow x<2,$$
$$\left(\frac1{\sqrt3}\right)^x<3 \Rightarrow x>-2.$$
Итак,
$$-2<x<2.$$
в) $$5^{2x}<3^x$$
$$25^x<3^x,$$
$$\left(\frac{25}{3}\right)^x<1.$$
Так как $$\frac{25}{3}>1,$$ то
$$x<0.$$
г) $$7^{x+1}-7^x\ge 294$$
$$7\cdot 7^x-7^x\ge 294,$$
$$6\cdot 7^x\ge 294,$$
$$7^x\ge 49,$$
$$x\ge 2.$$
д) $$\left(\frac15\right)^{x-1}-26\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x+5>0$$
$$5\left(\frac15\right)^{2x}-26\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x+5>0.$$
Пусть $$y=\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x,$$ тогда
$$5y^2-26y+5>0.$$
Найдём корни:
$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576,$$
$$y_1=\frac{26-24}{10}=\frac15,\quad y_2=\frac{26+24}{10}=5.$$
Тогда
$$\left(y-\frac15\right)(y-5)>0,$$
$$y<\frac15 \quad \text{или} \quad y>5.$$
Следовательно,
$$\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x<\frac15 \Rightarrow x>2,$$
$$\left(\frac1{\sqrt5}\right)^x>5 \Rightarrow x<-2.$$
Итак,
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>2.$$
е) $$4^x>\left(\frac15\right)^{2x}$$
$$4^x>\frac1{25^x},$$
$$100^x>1.$$
Так как $$100>1,$$ то
$$x>0.$$
Ответ
а) $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$\arccos\frac14+2\pi n\le x\le 2\pi-\arccos\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x<0$$; г) $$x\ge 2$$; д) $$x<-2$$ или $$x>2$$; е) $$x>0$$.
