Упр.2.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Вычислите $$\lim(x_n)$$ ($$n > ?$$): а) $$x_n=\frac{2}{3^n}$$; г) $$x_n=\frac{5}{4^n}$$; б) $$x_n=\frac{11}{2^n-1}$$; д) $$x_n=\frac{9}{5^n+1}$$; в) $$x_n=3\cdot4^{1-n}$$; е) $$x_n=6\cdot3^{-n-1}$$.

Во всех пунктах знаменатель растёт без ограничения, а числитель остаётся постоянным или тоже выражается через убывающую степень. Поэтому дроби стремятся к нулю.

а) $$x_n=\frac{2}{3^n}$$

Так как $$3^n \to \infty$$ при $$n \to \infty$$, то

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{3^n}=0.$$

б) $$x_n=\frac{11}{2^n-1}$$

Поскольку $$2^n-1 \to \infty$$, получаем

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{11}{2^n-1}=0.$$

в) $$x_n=3\cdot 4^{1-n}=\frac{12}{4^n}$$

Тогда

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{12}{4^n}=0.$$

г) $$x_n=\frac{5}{4^n}$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{4^n}=0.$$

д) $$x_n=\frac{9}{5^n+1}$$

Так как $$5^n+1 \to \infty$$, то

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{9}{5^n+1}=0.$$

е) $$x_n=6\cdot 3^{-n-1}=\frac{2}{3^n}$$

Значит,

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{3^n}=0.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$; д) $$0$$; е) $$0$$.