Упр.19.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) [-7; -1]; в) [3; 1]; д) [3; 8];
б) [3; 5]; г) [4; 11]; е) [-7; 0]. Прямоугольный участок земли должен иметь площадь 1200 м^2, а забор должен огораживать участок с трёх сторон и разделять его посередине, как показано на рисунке 103. Какова наименьшая возможная длина забора?
Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{9}{x-2}.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1-\frac{9}{(x-2)^2}.$$
Критические точки:
$$1-\frac{9}{(x-2)^2}=0,$$
$$ (x-2)^2=9,$$
$$x-2=\pm 3,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=5.$$
Вычислим значения функции в критических точках:
$$y(-1)=-1+\frac{9}{-3}=-1-3=-4,$$
$$y(5)=5+\frac{9}{3}=5+3=8.$$
Теперь найдём наименьшее и наибольшее значения на каждом отрезке.
$$[-7;-1]$$
$$y(-7)=-7+\frac{9}{-9}=-7-1=-8,$$
$$y(-1)=-4.$$
Наименьшее значение: $$-8,$$ наибольшее: $$-4.$$
$$[3;5]$$
$$y(3)=3+\frac{9}{1}=12,$$
$$y(5)=8.$$
Наименьшее значение: $$8,$$ наибольшее: $$12.$$
$$[-3;1]$$
$$y(-3)=-3+\frac{9}{-5}=-3-\frac{9}{5}=-\frac{24}{5},$$
$$y(1)=1+\frac{9}{-1}=1-9=-8.$$
Наименьшее значение: $$-8,$$ наибольшее: $$-\frac{24}{5}.$$
$$[4;11]$$
$$y(4)=4+\frac{9}{2}=\frac{17}{2},$$
$$y(11)=11+\frac{9}{9}=12.$$
Наименьшее значение: $$\frac{17}{2},$$ наибольшее: $$12.$$
$$[3;8]$$
$$y(3)=12,$$
$$y(8)=8+\frac{9}{6}=8+\frac{3}{2}=\frac{19}{2}.$$
Наименьшее значение: $$\frac{19}{2},$$ наибольшее: $$12.$$
$$[-7;0]$$
$$y(-7)=-8,$$
$$y(0)=\frac{9}{-2}=-\frac{9}{2}.$$
Наименьшее значение: $$-8,$$ наибольшее: $$-\frac{9}{2}.$$
Рассмотрим задачу про забор. Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда
$$xy=1200,\quad y=\frac{1200}{x}.$$
Длина забора равна
$$l(x)=3x+y=3x+\frac{1200}{x}.$$
Найдём минимум этой функции при $$x>0$$:
$$l'(x)=3-\frac{1200}{x^2}.$$
$$3-\frac{1200}{x^2}=0,$$
$$3x^2=1200,$$
$$x^2=400,$$
$$x=20.$$
Тогда
$$y=\frac{1200}{20}=60,$$
$$l_{\min}=3\cdot 20+60=120.$$
Ответ
а) $$-8;\,-4$$; б) $$8;\,12$$; в) $$-8;\,-\frac{24}{5}$$; г) $$\frac{17}{2};\,12$$; д) $$\frac{19}{2};\,12$$; е) $$-8;\,-\frac{9}{2}$$; наименьшая длина забора: $$120\text{ м}$$.
