Упр.19.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) [2; 3]; в) [-1; 6]; д) [-2; 2];
б) [-1; 2]; г) [1; 4]; е) [0; 6]. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Каковы должны быть катеты, чтобы гипотенуза была наименьшей?
Рассмотрим функцию $$y=x^4-8x^3+10x^2+1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4x^3-24x^2+20x=4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5).$$
Критические точки:
$$x=0,\; x=1,\; x=5.$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$y(0)=1,$$
$$y(1)=1-8+10+1=4,$$
$$y(5)=625-1000+250+1=-124.$$
Теперь найдём значения функции на концах данных отрезков и сравним их с найденными значениями в критических точках, если они принадлежат отрезку.
$$[2;3]$$
$$y(2)=16-64+40+1=-7,$$
$$y(3)=81-216+90+1=-44.$$
Наименьшее значение: $$-44,$$ наибольшее значение: $$-7.$$
$$[-1;2]$$
$$y(-1)=1+8+10+1=20,$$
$$y(2)=-7.$$
Наименьшее значение: $$-7,$$ наибольшее значение: $$20.$$
$$[-1;6]$$
$$y(-1)=20,$$
$$y(6)=1296-1728+360+1=-71.$$
С учётом критических точек $$x=0,1,5$$ получаем:
$$y(0)=1,\quad y(1)=4,\quad y(5)=-124.$$
Наименьшее значение: $$-124,$$ наибольшее значение: $$20.$$
$$[1;4]$$
$$y(1)=4,$$
$$y(4)=256-512+160+1=-95.$$
Наименьшее значение: $$-95,$$ наибольшее значение: $$4.$$
$$[-2;2]$$
$$y(-2)=16+64+40+1=121,$$
$$y(2)=-7.$$
С учётом критических точек $$x=0,1$$:
$$y(0)=1,\quad y(1)=4.$$
Наименьшее значение: $$-7,$$ наибольшее значение: $$121.$$
$$[0;6]$$
$$y(0)=1,\quad y(6)=-71,$$
а также
$$y(1)=4,\quad y(5)=-124.$$
Наименьшее значение: $$-124,$$ наибольшее значение: $$4.$$
Теперь решим задачу про треугольник. Пусть катеты равны $$x$$ и $$y$$, тогда
$$x+y=15,\quad y=15-x.$$
Гипотенуза:
$$l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(15-x)^2}=\sqrt{2x^2-30x+225}.$$
Чтобы $$l$$ была наименьшей, достаточно минимизировать выражение под корнем:
$$2x^2-30x+225.$$
Это квадратный трёхчлен, его минимум достигается в вершине параболы:
$$x=\frac{30}{4}=7{,}5.$$
Тогда
$$y=15-7{,}5=7{,}5.$$
Ответ
а) $$-44;\,-7$$
б) $$-7;\,20$$
в) $$-124;\,20$$
г) $$-95;\,4$$
д) $$-7;\,121$$
е) $$-124;\,4$$
Катеты должны быть равны $$7{,}5$$ см и $$7{,}5$$ см.
