Упр.19.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1$$ на отрезке: а) $$[2; 3]$$; в) $$[-1; 6]$$; д) $$[-2; 2]$$; б) $$[-1; 2]$$; г) $$[1; 4]$$; е) $$[0; 6]$$.
2. Задание учебника 2022 года. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Каковы должны быть катеты, чтобы гипотенуза была наименьшей?

Рассмотрим функцию $$y=x^4-8x^3+10x^2+1.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=4x^3-24x^2+20x=4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5).$$

Критические точки:

$$x=0,\; x=1,\; x=5.$$

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y(0)=1,$$

$$y(1)=1-8+10+1=4,$$

$$y(5)=625-1000+250+1=-124.$$

Теперь найдём значения функции на концах данных отрезков и сравним их с найденными значениями в критических точках, если они принадлежат отрезку.

1. $$[2;3]$$

   $$y(2)=16-64+40+1=-7,$$

   $$y(3)=81-216+90+1=-44.$$

   Наименьшее значение: $$-44,$$ наибольшее значение: $$-7.$$

2. $$[-1;2]$$

   $$y(-1)=1+8+10+1=20,$$

   $$y(2)=-7.$$

   Наименьшее значение: $$-7,$$ наибольшее значение: $$20.$$

3. $$[-1;6]$$

   $$y(-1)=20,$$

   $$y(6)=1296-1728+360+1=-71.$$

   С учётом критических точек $$x=0,1,5$$ получаем:

   $$y(0)=1,\quad y(1)=4,\quad y(5)=-124.$$

   Наименьшее значение: $$-124,$$ наибольшее значение: $$20.$$

4. $$[1;4]$$

   $$y(1)=4,$$

   $$y(4)=256-512+160+1=-95.$$

   Наименьшее значение: $$-95,$$ наибольшее значение: $$4.$$

5. $$[-2;2]$$

   $$y(-2)=16+64+40+1=121,$$

   $$y(2)=-7.$$

   С учётом критических точек $$x=0,1$$:

   $$y(0)=1,\quad y(1)=4.$$

   Наименьшее значение: $$-7,$$ наибольшее значение: $$121.$$

6. $$[0;6]$$

   $$y(0)=1,\quad y(6)=-71,$$

   а также

   $$y(1)=4,\quad y(5)=-124.$$

   Наименьшее значение: $$-124,$$ наибольшее значение: $$4.$$

Теперь решим задачу про треугольник. Пусть катеты равны $$x$$ и $$y$$, тогда

$$x+y=15,\quad y=15-x.$$

Гипотенуза:

$$l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(15-x)^2}=\sqrt{2x^2-30x+225}.$$

Чтобы $$l$$ была наименьшей, достаточно минимизировать выражение под корнем:

$$2x^2-30x+225.$$

Это квадратный трёхчлен, его минимум достигается в вершине параболы:

$$x=\frac{30}{4}=7{,}5.$$

Тогда

$$y=15-7{,}5=7{,}5.$$

Ответ

а) $$-44;\,-7$$

б) $$-7;\,20$$

в) $$-124;\,20$$

г) $$-95;\,4$$

д) $$-7;\,121$$

е) $$-124;\,4$$

Катеты должны быть равны $$7{,}5$$ см и $$7{,}5$$ см.