Упр.19.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^3-12x^2+36x-11$$ на отрезках: а) $$[0;1]$$; б) $$[-1;3]$$; в) $$[-1;7]$$; г) $$[-2;0]$$; д) $$[1;4]$$; е) $$[0;7]$$.
- Каковы должны быть размеры прямоугольного участка, площадь которого равна $$32\ \text{м}^2$$, чтобы забор, огораживающий его с трёх сторон, имел наименьшую длину?
Рассмотрим функцию $$y=x^3-12x^2+36x-11.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2-24x+36=3(x^2-8x+12)=3(x-2)(x-6).$$
Критические точки:
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=2,\; x=6.$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$y(2)=8-48+72-11=21,$$
$$y(6)=216-432+216-11=-11.$$
Далее на каждом отрезке сравниваем значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.
$$[0;1]$$
$$y(0)=-11,\quad y(1)=1-12+36-11=14.$$
Наименьшее значение: $$-11,$$ наибольшее значение: $$14.$$
$$[-1;3]$$
$$y(-1)=-1-12-36-11=-60,$$
$$y(3)=27-108+108-11=16,$$
$$y(2)=21.$$
Наименьшее значение: $$-60,$$ наибольшее значение: $$21.$$
$$[-1;7]$$
$$y(-1)=-60,\quad y(7)=343-588+252-11=-4,$$
$$y(2)=21,\quad y(6)=-11.$$
Наименьшее значение: $$-60,$$ наибольшее значение: $$21.$$
$$[-2;0]$$
$$y(-2)=-8-48-72-11=-139,\quad y(0)=-11.$$
Наименьшее значение: $$-139,$$ наибольшее значение: $$-11.$$
$$[1;4]$$
$$y(1)=14,\quad y(2)=21,\quad y(4)=64-192+144-11=5.$$
Наименьшее значение: $$5,$$ наибольшее значение: $$21.$$
$$[0;7]$$
$$y(0)=-11,\quad y(2)=21,\quad y(6)=-11,\quad y(7)=-4.$$
Наименьшее значение: $$-11,$$ наибольшее значение: $$21.$$
Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, причём $$xy=32.$$ Тогда $$y=\dfrac{32}{x}.$$
Длина забора с трёх сторон:
$$l(x)=2x+y=2x+\frac{32}{x}, \quad x>0.$$
Найдём минимум этой функции:
$$l'(x)=2-\frac{32}{x^2}.$$
$$l'(x)=0 \Rightarrow 2-\frac{32}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4.$$
Тогда
$$y=\frac{32}{4}=8.$$
При этих размерах длина забора минимальна.
Ответ
а) $$-11,\;14$$; б) $$-60,\;21$$; в) $$-60,\;21$$; г) $$-139,\;-11$$; д) $$5,\;21$$; е) $$-11,\;21$$; размеры участка: $$4\text{ м}$$ и $$8\text{ м}$$.
