Упр.19.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^3-9x^2+24x-1$$ на отрезке: а) $$[1;1]$$; в) $$[1;4]$$; д) $$[-2;0]$$; б) $$[-1;5]$$; г) $$[0;3]$$; е) $$[1;5]$$.
2. а) Периметр прямоугольника равен $$36\ \text{см}$$. Какими должны быть его стороны, чтобы он имел наибольшую площадь?
   б) Площадь прямоугольника равна $$16\ \text{см}^2$$. Какими должны быть его стороны, чтобы он имел наименьший периметр?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-9x^2+24x-1$$

$$y'(x)=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4)$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=4$$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y(2)=8-36+48-1=19$$

$$y(4)=64-144+96-1=15$$

Далее на каждом отрезке сравним значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.

1. $$[-1;1]$$

   $$y(-1)=-1-9-24-1=-35$$

   $$y(1)=1-9+24-1=15$$

   Наименьшее значение: $$-35$$, наибольшее: $$15$$.

2. $$[-1;5]$$

   $$y(-1)=-35$$

   $$y(5)=125-225+120-1=19$$

   Также внутри отрезка есть точки $$x=2$$ и $$x=4$$:

   $$y(2)=19,\quad y(4)=15$$

   Наименьшее значение: $$-35$$, наибольшее: $$19$$.

3. $$[1;4]$$

   $$y(1)=15,\quad y(2)=19,\quad y(4)=15$$

   Наименьшее значение: $$15$$, наибольшее: $$19$$.

4. $$[0;3]$$

   $$y(0)=-1,\quad y(2)=19,\quad y(3)=27-81+72-1=17$$

   Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее: $$19$$.

5. $$[-2;0]$$

   $$y(-2)=-8-36-48-1=-93$$

   $$y(0)=-1$$

   Наименьшее значение: $$-93$$, наибольшее: $$-1$$.

6. $$[1;5]$$

   $$y(1)=15,\quad y(2)=19,\quad y(4)=15,\quad y(5)=19$$

   Наименьшее значение: $$15$$, наибольшее: $$19$$.

Решим задачу о прямоугольнике.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$2x+2y=36,\quad x+y=18,\quad y=18-x$$

Площадь:

$$S(x)=x(18-x)=18x-x^2$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшая площадь достигается в вершине:

$$x=\frac{18}{2}=9,\quad y=18-9=9$$

Следовательно, прямоугольник должен быть квадратом.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$xy=16,\quad y=\frac{16}{x}$$

Периметр:

$$P(x)=2x+2y=2x+\frac{32}{x}$$

Найдём минимум:

$$P'(x)=2-\frac{32}{x^2}$$

$$2-\frac{32}{x^2}=0$$

$$x^2=16,\quad x=4$$

Тогда

$$y=\frac{16}{4}=4$$

Значит, наименьший периметр будет у квадрата.

Ответ

1) $$[-1;1]$$: $$-35$$ и $$15$$; $$[-1;5]$$: $$-35$$ и $$19$$; $$[1;4]$$: $$15$$ и $$19$$; $$[0;3]$$: $$-1$$ и $$19$$; $$[-2;0]$$: $$-93$$ и $$-1$$; $$[1;5]$$: $$15$$ и $$19$$.

2) а) $$9\text{ см}$$ и $$9\text{ см}$$; б) $$4\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$.