Упр.19.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = {(x — 1)^3 — 3, x ? 0; -4cos x, x < 0}, x ? [-3; 4];
б) y = {3x + 8, x ? 1; x^2 - 8x + 18, 1 < x ? 4; log(2; x), x > 4}, x ? [-1; 16];
в) y = {x^(1/3)+1, x ? 0; (1/2)^(x-1) — 1, x < 0}, x ? [-3; 8];
г) y = {sin(?x/2), x ? 1; 2x - 1, -2 < x < 1; (x + 2)^6 - 5, x ? -2}, x ? [-4; 8]. а) На графике функции y=vx найдите точку, ближайшую к точке М(4,5; 0).
б) На графике функции y=x^2 найдите точку, ближайшую к точке K(2; 0,5).
а) $$y=\begin{cases}(x-1)^3-3, & x\ge 0,\\ -4\cos x, & x<0,\end{cases}\quad x\in[-3;4].$$
На каждом из промежутков функция возрастает, значит наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутков и в точке разрыва $$x=0$$.
Вычислим значения:
$$y(-3)=-4\cos 3,$$
$$y(0)=(-1)^3-3=-4,$$
$$y(4)=3^3-3=24.$$Так как $$-4\cos 3\approx 3{,}96,$$ то наименьшее значение равно $$-4,$$ а наибольшее — $$24.$$
б) $$y=\begin{cases}3x+8, & x\le 1,\\ x^2-8x+18, & 1<x\le 4,\\ \log_2 x, & x>4,\end{cases}\quad x\in[-1;16].$$
Рассмотрим значения на границах промежутков:
$$y(-1)=3\cdot(-1)+8=5,$$
$$y(1)=3\cdot 1+8=11,$$
$$y(4)=4^2-8\cdot 4+18=2,$$
$$y(16)=\log_2 16=4.$$На отрезке $$[-1;1]$$ функция $$3x+8$$ возрастает, на $$[1;4]$$ парабола $$x^2-8x+18=(x-4)^2+2$$ убывает до $$x=4$$, а $$\log_2 x$$ при $$x>4$$ возрастает. Поэтому
наибольшее значение равно $$11,$$ наименьшее — $$2.$$
в) $$y=\begin{cases}\sqrt[3]{x}+1, & x\ge 0,\\ \left(\dfrac12\right)^{x-1}-1, & x<0,\end{cases}\quad x\in[-3;8].$$
Функция $$\sqrt[3]{x}+1$$ возрастает при $$x\ge 0,$$ а функция $$\left(\dfrac12\right)^{x-1}-1$$ убывает при $$x<0.$$ Проверим значения на концах и в точке $$x=0$$:
$$y(-3)=\left(\dfrac12\right)^{-4}-1=16-1=15,$$
$$y(0)=\left(\dfrac12\right)^{-1}-1=2-1=1,$$
$$y(8)=\sqrt[3]{8}+1=2+1=3.$$Следовательно, наибольшее значение равно $$15,$$ наименьшее — $$1.$$
г) $$y=\begin{cases}\sin\dfrac{\pi x}{2}, & x\ge 1,\\ 2x-1, & -2<x<1,\\ (x+2)^6-5, & x\le -2,\end{cases}\quad x\in[-4;8].$$
Рассмотрим значения на границах промежутков:
$$y(-4)=(-2)^6-5=64-5=59,$$
$$y(-2)=0^6-5=-5,$$
$$y(1)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1,$$
$$y(8)=\sin 4\pi=0.$$На промежутке $$(-2;1)$$ функция $$2x-1$$ возрастает, на $$(-\infty;-2]$$ функция $$ (x+2)^6-5$$ также возрастает при $$x\le -2,$$ а на $$[1;8]$$ значения функции $$\sin\dfrac{\pi x}{2}$$ не превосходят $$1.$$
Значит, наибольшее значение равно $$59,$$ наименьшее — $$-5.$$
а) На графике $$y=\sqrt{x}$$ найдём точку, ближайшую к $$M(4{,}5;0).$$
Расстояние от точки графика $$\bigl(x,\sqrt{x}\bigr)$$ до точки $$M$$:
$$l(x)=\sqrt{(x-4{,}5)^2+(\sqrt{x})^2}=\sqrt{(x-4{,}5)^2+x}=\sqrt{x^2-8x+20{,}25}.$$
Минимум достигается при минимуме подкоренного выражения:
$$x^2-8x+20{,}25=(x-4)^2+4{,}25.$$
Значит, $$x=4,$$ тогда $$y=\sqrt{4}=2.$$
Ответ: $$ (4;2). $$
б) На графике $$y=x^2$$ найдём точку, ближайшую к $$K(2;0{,}5).$$
Расстояние от точки графика $$\bigl(x,x^2\bigr)$$ до точки $$K$$:
$$l(x)=\sqrt{(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2}.$$
Рассмотрим квадрат расстояния:
$$l^2(x)=(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2=x^4-4x+4{,}25.$$
Минимум достигается при
$$\frac{d}{dx}\bigl(x^4-4x+4{,}25\bigr)=4x^3-4=0,$$
$$x^3=1,$$
$$x=1.$$Тогда $$y=1^2=1.$$
Ответ: $$ (1;1). $$
