Упр.19.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=0,5ln(x^5), [1; e]; г) y=ln(x), [1/e; e^2];
б) y=lg(x), [2; 10]; д) y=2lg(x), [1; 20];
в) y=3log_0,2(x), [2; 1]; е) y=log_(1/3)(x), [0,3; 3].
Найдите значение параметра р, при котором сумма квадратов корней данного уравнения принимает наименьшее значение:
а) x^2+(p-2)x+p-3=0;
б) x^2-(p-3)x+2p-10=0.

а) $$y=0{,}5\ln(x^5)=0{,}5\cdot 5\ln x=2{,}5\ln x.$$

Так как $$\ln x$$ возрастает на $$[1;e]$$, то наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка:

$$y(1)=2{,}5\ln 1=0,$$

$$y(e)=2{,}5\ln e=2{,}5.$$

Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=2{,}5.$$

б) $$y=\lg x,\quad [2;10].$$

Функция $$\lg x$$ возрастает, поэтому:

$$y(2)=\lg 2,$$

$$y(10)=\lg 10=1.$$

Следовательно, $$y_{\min}=\lg 2,$$ $$y_{\max}=1.$$

в) $$y=3\log_{0{,}2}x,\quad [1;2].$$

Так как основание $$0{,}2<1,$$ функция убывает на области определения. Тогда:

$$y(1)=3\log_{0{,}2}1=0,$$

$$y(2)=3\log_{0{,}2}2=\log_{0{,}2}8.$$

Поскольку функция убывает, то

$$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=\log_{0{,}2}8.$$

г) $$y=\ln x,\quad \left[\frac1e;e^2\right].$$

Функция $$\ln x$$ возрастает, значит:

$$y\!\left(\frac1e\right)=\ln\frac1e=\ln e^{-1}=-1,$$

$$y(e^2)=\ln e^2=2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=2.$$

д) $$y=2\lg x,\quad [1;20].$$

Функция возрастает, поэтому:

$$y(1)=2\lg 1=0,$$

$$y(20)=2\lg 20=2\lg(2\cdot 10)=2+2\lg 2.$$

Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=2+2\lg 2.$$

е) $$y=\log_{\frac13}x,\quad [0{,}3;3].$$

Так как $$\frac13<1,$$ функция убывает. Тогда:

$$y(0{,}3)=\log_{\frac13}0{,}3,$$

$$y(3)=\log_{\frac13}3=-1.$$

Следовательно, $$y_{\max}=\log_{\frac13}0{,}3,$$ $$y_{\min}=-1.$$

а) $$x^2+(p-2)x+p-3=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2-p,\quad x_1x_2=p-3.$$

Сумма квадратов корней:

$$S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2-p)^2-2(p-3).$$

$$S=p^2-6p+10=(p-3)^2+1.$$

Минимум достигается при $$p=3.$$

б) $$x^2-(p-3)x+2p-10=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=p-3,\quad x_1x_2=2p-10.$$

Тогда

$$S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(p-3)^2-2(2p-10).$$

$$S=p^2-10p+29=(p-5)^2+4.$$

Минимум достигается при $$p=5.$$

Ответ

а) $$0,\ 2{,}5$$; б) $$\lg 2,\ 1$$; в) $$\log_{0{,}2}8,\ 0$$; г) $$-1,\ 2$$; д) $$0,\ 2+2\lg 2$$; е) $$-1,\ \log_{\frac13}0{,}3$$.

Для суммы квадратов корней: а) $$p=3$$; б) $$p=5$$.