Упр.19.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x^2-6x+11, [0; 2]; г) y=x^2+8x-13, [-2; 2];
б) y=x^2+4x-15, [-4; 1]; д) y=-x^2-6x+7, [-4; 0];
в) y=-2x^2+8x+5, [-1; 5]; е) y=3x^2-12x-7, [-1; 5]. а) Число 18 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма удвоенного одного слагаемого и квадрата другого слагаемого была наименьшей.
б) Число 6 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма частного от деления первого слагаемого на второе и частного от деления второго слагаемого на первое была наименьшей.

Подробный ответ

а) $$y=x^2-6x+11,\quad [0;2]$$
Найдём критическую точку:
$$y'(x)=2x-6$$
$$2x-6=0,\quad x=3$$
Так как $$3\notin[0;2]$$, проверим значения на концах отрезка:
$$y(0)=0-0+11=11$$
$$y(2)=4-12+11=3$$
Наименьшее значение: $$3$$, наибольшее значение: $$11$$.
б) $$y=x^2+4x-15,\quad [-4;1]$$
$$y'(x)=2x+4$$
$$2x+4=0,\quad x=-2$$
Считаем значения функции в точках $$-4$$, $$-2$$ и $$1$$:
$$y(-4)=16-16-15=-15$$
$$y(-2)=4-8-15=-19$$
$$y(1)=1+4-15=-10$$
Наименьшее значение: $$-19$$, наибольшее значение: $$-10$$.
в) $$y=-2x^2+8x+5,\quad [-1;5]$$
$$y'(x)=-4x+8$$
$$-4x+8=0,\quad x=2$$
Вычислим значения функции:
$$y(-1)=-2-8+5=-5$$
$$y(2)=-8+16+5=13$$
$$y(5)=-50+40+5=-5$$
Наименьшее значение: $$-5$$, наибольшее значение: $$13$$.
г) $$y=x^2+8x-13,\quad [-2;2]$$
$$y'(x)=2x+8$$
$$2x+8=0,\quad x=-4$$
Так как $$-4\notin[-2;2]$$, проверим концы отрезка:
$$y(-2)=4-16-13=-25$$
$$y(2)=4+16-13=7$$
Наименьшее значение: $$-25$$, наибольшее значение: $$7$$.
д) $$y=-x^2-6x+7,\quad [-4;0]$$
$$y'(x)=-2x-6$$
$$-2x-6=0,\quad x=-3$$
Вычислим значения функции:
$$y(-4)=-16+24+7=15$$
$$y(-3)=-9+18+7=16$$
$$y(0)=7$$
Наименьшее значение: $$7$$, наибольшее значение: $$16$$.
е) $$y=3x^2-12x-7,\quad [-1;5]$$
$$y'(x)=6x-12$$
$$6x-12=0,\quad x=2$$
Считаем значения функции:
$$y(-1)=3+12-7=8$$
$$y(2)=12-24-7=-19$$
$$y(5)=75-60-7=8$$
Наименьшее значение: $$-19$$, наибольшее значение: $$8$$.
а) Пусть слагаемые равны $$x$$ и $$y$$, тогда
$$x+y=18,\quad y=18-x$$
Искомая сумма:
$$S=2x+y^2=2x+(18-x)^2$$
$$S'(x)=2-2(18-x)=2x-34$$
$$2x-34=0,\quad x=17$$
Тогда
$$y=18-17=1$$
Минимум достигается при разложении $$18=17+1$$.
б) Пусть слагаемые равны $$x$$ и $$y$$, тогда
$$x+y=6,\quad y=6-x$$
Искомая сумма:
$$S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{6-x}+\frac{6-x}{x}$$
Для положительных $$x$$ и $$y$$ по неравенству AM-GM:
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$$
Равенство достигается при
$$\frac{x}{y}=\frac{y}{x}\quad \Rightarrow \quad x=y$$
Тогда
$$x=y=3$$
Минимум достигается при разложении $$6=3+3$$.