Упр.19.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Является ли заданная функция периодической:

• а) $$y=x^2\tg(x)$$;
• в) $$y=v(\cos(x))$$;
• б) $$y=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$$;
• г) $$y=\frac{\cos(x)}{\sin(x)-2}$$?

1. а) $$y=x^2\tg x$$

   Функция $$\tg x$$ периодическая с периодом $$\pi$$, но множитель $$x^2$$ при сдвиге меняется:

   $$y(x-\pi)=(x-\pi)^2\tg(x-\pi)=(x-\pi)^2\tg x \ne x^2\tg x=y(x).$$

   Следовательно, функция не является периодической.

2. б) $$y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$$

   Числитель и знаменатель имеют период $$2\pi$$:

   $$\sin(x-2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x-2\pi)=\cos x.$$

   Тогда

   $$y(x-2\pi)=\dfrac{\sin(x-2\pi)}{1+\cos(x-2\pi)}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=y(x).$$

   Значит, функция периодическая.

3. в) $$y=\sqrt{\cos x}$$

   Так как $$\cos(x-2\pi)=\cos x$$, то

   $$y(x-2\pi)=\sqrt{\cos(x-2\pi)}=\sqrt{\cos x}=y(x).$$

   Следовательно, функция периодическая.

4. г) $$y=\dfrac{\cos x}{\sin x-2}$$

   Имеем

   $$\cos(x-2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x-2\pi)=\sin x,$$

   поэтому

   $$y(x-2\pi)=\dfrac{\cos(x-2\pi)}{\sin(x-2\pi)-2}=\dfrac{\cos x}{\sin x-2}=y(x).$$

   Значит, функция периодическая.

Ответ

а) нет; б) да; в) да; г) да.