Упр.19.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$5^{2x}\left(5^{2x}+5^{4-2x}-130\right)?0$$;
   б) $$6^{4x}\left(6^{2x+1}+6^{1-2x}-36\right)?0$$;
   в) $$7^x\left(7^{3x+1}+7^{-3x}-8\right)?0$$;
   г) $$16^x\left(2^{3x+1}+2^{4-3x}-12\right)?0$$.

1. а)

   $$5^{2x}\left(5^{2x}+5^{4-2x}-130\right)\ge 0$$
   Так как $$5^{2x}>0$$ при любых $$x$$, достаточно решить неравенство
   $$5^{2x}+5^{4-2x}-130\ge 0.$$
   Обозначим $$t=5^{2x}$$, тогда $$5^{4-2x}=\dfrac{625}{t}$$, и получаем
   $$t+\frac{625}{t}-130\ge 0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$t^2-130t+625\ge 0.$$
   $$D=130^2-4\cdot 625=14400,$$
   $$t_{1,2}=\frac{130\pm 120}{2}$$
   $$t_1=5,\quad t_2=125.$$
   Тогда
   $$\left(t-5\right)\left(t-125\right)\ge 0,$$
   откуда
   $$t\le 5 \quad \text{или} \quad t\ge 125.$$
   Возвращаясь к переменной $$x$$:
   $$5^{2x}\le 5 \Rightarrow 2x\le 1 \Rightarrow x\le \frac12,$$
   $$5^{2x}\ge 125 \Rightarrow 2x\ge 3 \Rightarrow x\ge \frac32.$$

2. б)

   $$6^{4x}\left(6^{2x+1}+6^{1-2x}-36\right)\le 0$$
   Так как $$6^{4x}>0$$, решаем
   $$6^{2x+1}+6^{1-2x}-36\le 0.$$
   Обозначим $$t=6^{2x}$$, тогда $$6^{2x+1}=6t$$, $$6^{1-2x}=\dfrac{6}{t}$$. Получаем
   $$6t+\frac{6}{t}-36\le 0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$6t^2-36t+6\le 0,$$
   $$t^2-6t+1\le 0.$$
   $$D=36-4=32,$$
   $$t_{1,2}=3\pm 2\sqrt2.$$
   Значит,
   $$3-2\sqrt2\le t\le 3+2\sqrt2.$$
   Возвращаясь к $$x$$:
   $$3-2\sqrt2\le 6^{2x}\le 3+2\sqrt2.$$
   Отсюда
   $$\frac12\log_6(3-2\sqrt2)\le x\le \frac12\log_6(3+2\sqrt2).$$

3. в)

   $$7^x\left(7^{3x+1}+7^{-3x}-8\right)\ge 0$$
   Так как $$7^x>0$$, решаем
   $$7^{3x+1}+7^{-3x}-8\ge 0.$$
   Обозначим $$t=7^{3x}$$, тогда $$7^{3x+1}=7t$$, $$7^{-3x}=\dfrac1t$$. Получаем
   $$7t+\frac1t-8\ge 0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$7t^2-8t+1\ge 0.$$
   $$D=64-28=36,$$
   $$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{14},$$
   $$t_1=\frac17,\quad t_2=1.$$
   Тогда
   $$\left(7t-1\right)(t-1)\ge 0,$$
   откуда
   $$t\le \frac17 \quad \text{или} \quad t\ge 1.$$
   Значит,
   $$7^{3x}\le \frac17 \Rightarrow 3x\le -1 \Rightarrow x\le -\frac13,$$
   $$7^{3x}\ge 1 \Rightarrow 3x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0.$$

4. г)

   $$16^x\left(2^{3x+1}+2^{4-3x}-12\right)\le 0$$
   Так как $$16^x>0$$, решаем
   $$2^{3x+1}+2^{4-3x}-12\le 0.$$
   Обозначим $$t=2^{3x}$$, тогда $$2^{3x+1}=2t$$, $$2^{4-3x}=\dfrac{16}{t}$$. Получаем
   $$2t+\frac{16}{t}-12\le 0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$2t^2-12t+16\le 0,$$
   $$t^2-6t+8\le 0.$$
   $$D=36-32=4,$$
   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2},$$
   $$t_1=2,\quad t_2=4.$$
   Тогда
   $$(t-2)(t-4)\le 0,$$
   откуда
   $$2\le t\le 4.$$
   Значит,
   $$2\le 2^{3x}\le 4,$$
   $$1\le 3x\le 2,$$
   $$\frac13\le x\le \frac23.$$

Ответ

а) $$(-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac32;+\infty)$$;
б) $$\left[\frac12\log_6(3-2\sqrt2);\frac12\log_6(3+2\sqrt2)\right]$$;
в) $$(-\infty;-\tfrac13]\cup[0;+\infty)$$;
г) $$\left[\tfrac13;\tfrac23\right]$$.