Упр.19.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases} \log_3(3x)+\log_3\left(\frac{y}{3}\right)=-1,\\ 3y+x-\frac{10}{3}=0; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} \lg(5x)+\lg(y)=\ln(e),\\ 3x-y-5=0; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} \log_2(2x)+\log_2\left(\frac{y}{2}\right)=\log_4(36),\\ 2x-y+4=0; \end{cases}$$
   г) $$\begin{cases} \lg(x)+\lg(y+3)=2,\\ x-2y+4=0. \end{cases}$$

1. а)

   $$\log_3(3x)+\log_3\left(\frac y3\right)=-1$$
   $$\log_3\left(3x\cdot \frac y3\right)=-1$$
   $$\log_3(xy)=-1$$
   $$xy=\frac13$$

   Из второго уравнения:
   $$3y+x-\frac{10}{3}=0$$
   $$x= \frac{10}{3}-3y$$

   Подставим в первое:
   $$\left(\frac{10}{3}-3y\right)y=\frac13$$
   $$10y-9y^2=1$$
   $$9y^2-10y+1=0$$
   $$D=100-36=64$$
   $$y_1=\frac{10-8}{18}=\frac19,\quad y_2=\frac{10+8}{18}=1$$

   Тогда
   $$x_1=\frac{10}{3}-3\cdot \frac19=3,\quad x_2=\frac{10}{3}-3\cdot 1=\frac13$$

   С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем решения:
   $$(3;\frac19),\ \left(\frac13;1\right)$$

2. б)

   $$\lg(5x)+\lg y=\ln e$$
   $$\lg(5xy)=1$$
   $$5xy=10$$
   $$xy=2$$

   Из второго уравнения:
   $$3x-y-5=0$$
   $$y=3x-5$$

   Подставим:
   $$x(3x-5)=2$$
   $$3x^2-5x-2=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$x_1=\frac{5-7}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{5+7}{6}=2$$

   Тогда
   $$y_1=3\cdot\left(-\frac13\right)-5=-6,\quad y_2=3\cdot 2-5=1$$

   По области определения $$x>0,\ y>0$$ подходит только пара
   $$(2;1)$$

3. в)

   $$\log_2(2x)+\log_2\left(\frac y2\right)=\log_4 36$$

   Так как
   $$\log_4 36=\frac12\log_2 36=\log_2 6,$$
   то
   $$\log_2\left(2x\cdot \frac y2\right)=\log_2 6$$
   $$\log_2(xy)=\log_2 6$$
   $$xy=6$$

   Из второго уравнения:
   $$2x-y+4=0$$
   $$y=2x+4$$

   Подставим:
   $$x(2x+4)=6$$
   $$2x^2+4x-6=0$$
   $$x^2+2x-3=0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=1$$

   Тогда
   $$y_1=2\cdot(-3)+4=-2,\quad y_2=2\cdot 1+4=6$$

   С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем:
   $$(1;6)$$

4. г)

   $$\lg x+\lg(y+3)=2$$
   $$\lg(x(y+3))=\lg 100$$
   $$x(y+3)=100$$

   Из второго уравнения:
   $$x-2y+4=0$$
   $$x=2y-4$$

   Подставим:
   $$(2y-4)(y+3)=100$$
   $$2y^2+2y-12=100$$
   $$2y^2+2y-112=0$$
   $$y^2+y-56=0$$
   $$D=1+224=225$$
   $$y_1=\frac{-1-15}{2}=-8,\quad y_2=\frac{-1+15}{2}=7$$

   Тогда
   $$x_1=2\cdot(-8)-4=-20,\quad x_2=2\cdot 7-4=10$$

   По области определения $$x>0,\ y>-3$$ подходит только:
   $$(10;7)$$

Ответ

а) $$(3;\frac19),\ \left(\frac13;1\right)$$;
б) $$(2;1)$$;
в) $$(1;6)$$;
г) $$(10;7)$$.