Упр.19.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) {log_3(3x)+log_3(y/3)=-1, 3y+x-10/3=0};
б) {lg(5x)+lg(y)=ln(e), 3x-y-5=0};
в) {log_2(2x)+log_2(y/2)=log_4(36), 2x-y+4=0};
г) {lg(x)+lg(y+3)=2, x-2y+4=0}.
а)
$$\log_3(3x)+\log_3\left(\frac y3\right)=-1$$
$$\log_3\left(3x\cdot \frac y3\right)=-1$$
$$\log_3(xy)=-1$$
$$xy=\frac13$$Из второго уравнения:
$$3y+x-\frac{10}{3}=0$$
$$x= \frac{10}{3}-3y$$Подставим в первое:
$$\left(\frac{10}{3}-3y\right)y=\frac13$$
$$10y-9y^2=1$$
$$9y^2-10y+1=0$$
$$D=100-36=64$$
$$y_1=\frac{10-8}{18}=\frac19,\quad y_2=\frac{10+8}{18}=1$$Тогда
$$x_1=\frac{10}{3}-3\cdot \frac19=3,\quad x_2=\frac{10}{3}-3\cdot 1=\frac13$$С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем решения:
$$(3;\frac19),\ \left(\frac13;1\right)$$б)
$$\lg(5x)+\lg y=\ln e$$
$$\lg(5xy)=1$$
$$5xy=10$$
$$xy=2$$Из второго уравнения:
$$3x-y-5=0$$
$$y=3x-5$$Подставим:
$$x(3x-5)=2$$
$$3x^2-5x-2=0$$
$$D=25+24=49$$
$$x_1=\frac{5-7}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{5+7}{6}=2$$Тогда
$$y_1=3\cdot\left(-\frac13\right)-5=-6,\quad y_2=3\cdot 2-5=1$$По области определения $$x>0,\ y>0$$ подходит только пара
$$(2;1)$$в)
$$\log_2(2x)+\log_2\left(\frac y2\right)=\log_4 36$$
Так как
$$\log_4 36=\frac12\log_2 36=\log_2 6,$$
то
$$\log_2\left(2x\cdot \frac y2\right)=\log_2 6$$
$$\log_2(xy)=\log_2 6$$
$$xy=6$$Из второго уравнения:
$$2x-y+4=0$$
$$y=2x+4$$Подставим:
$$x(2x+4)=6$$
$$2x^2+4x-6=0$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$Тогда
$$y_1=2\cdot(-3)+4=-2,\quad y_2=2\cdot 1+4=6$$С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем:
$$(1;6)$$г)
$$\lg x+\lg(y+3)=2$$
$$\lg(x(y+3))=\lg 100$$
$$x(y+3)=100$$Из второго уравнения:
$$x-2y+4=0$$
$$x=2y-4$$Подставим:
$$(2y-4)(y+3)=100$$
$$2y^2+2y-12=100$$
$$2y^2+2y-112=0$$
$$y^2+y-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$y_1=\frac{-1-15}{2}=-8,\quad y_2=\frac{-1+15}{2}=7$$Тогда
$$x_1=2\cdot(-8)-4=-20,\quad x_2=2\cdot 7-4=10$$По области определения $$x>0,\ y>-3$$ подходит только:
$$(10;7)$$
Ответ
а) $$(3;\frac19),\ \left(\frac13;1\right)$$;
б) $$(2;1)$$;
в) $$(1;6)$$;
г) $$(10;7)$$.
