Упр.19.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любых значениях $$x$$ выполняется неравенство:
   а) $$x^5-(1-x)^5\ ?\ \frac{1}{16}$$;
   б) $$x^7+(1-x)^7\ ?\ \frac{1}{64}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=x^5+(1-x)^5.$$

Найдём её производную:

$$y'(x)=5x^4-5(1-x)^4.$$

Преобразуем:

$$y'(x)=5\bigl(x^4-(1-x)^4\bigr) =5\bigl(x^2-(1-x)^2\bigr)\bigl(x^2+(1-x)^2\bigr).$$

Так как $$x^2+(1-x)^2>0,$$ знак производной определяется выражением

$$x^2-(1-x)^2=(x-(1-x))(x+(1-x))=(2x-1)\cdot 1=2x-1.$$

Следовательно, при $$x<\frac12$$ функция убывает, а при $$x>\frac12$$ возрастает. Значит, минимум достигается при $$x=\frac12$$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$y_{\min}= \left(\frac12\right)^5+\left(1-\frac12\right)^5 =\frac1{32}+\frac1{32} =\frac1{16}.$$

Значит,

$$x^5+(1-x)^5\ge \frac1{16}.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x^7+(1-x)^7.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=7x^6-7(1-x)^6.$$

Преобразуем:

$$y'(x)=7\bigl(x^6-(1-x)^6\bigr) =7\bigl(x^2-(1-x)^2\bigr)\bigl(x^4+x^2(1-x)^2+(1-x)^4\bigr).$$

Так как $$x^4+x^2(1-x)^2+(1-x)^4>0,$$ знак производной снова определяется множителем

$$x^2-(1-x)^2=2x-1.$$

Следовательно, функция убывает при $$x<\frac12$$ и возрастает при $$x>\frac12,$$ значит, минимум достигается при $$x=\frac12$$.

Тогда

$$y_{\min}=\left(\frac12\right)^7+\left(1-\frac12\right)^7 =\frac1{128}+\frac1{128} =\frac1{64}.$$

Следовательно,

$$x^7+(1-x)^7\ge \frac1{64}.$$

Ответ

а) $$x^5+(1-x)^5\ge \frac1{16}$$; б) $$x^7+(1-x)^7\ge \frac1{64}$$.