Упр.19.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(x — 2) + v(4 — x) = x^2 — 6x + 11;
б) 2^(1 — |x — 1|) = x^4 — 2x^2 + 3.

1. а) Рассмотрим функции

   $$f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}, \qquad g(x)=x^2-6x+11.$$

   Область определения: $$2 \le x \le 4.$$

   Найдём производные на этой области:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}.$$

   При $$x=3$$ имеем $$f'(3)=0$$, а функция $$f(x)$$ возрастает до $$x=3$$ и убывает после него, значит наибольшее значение достигается при $$x=3$$.

   Для правой части:

   $$g'(x)=2x-6,$$

   поэтому при $$x \ge 3$$ функция $$g(x)$$ возрастает.

   Проверим точку $$x=3$$:

   $$f(3)=\sqrt{1}+\sqrt{1}=2,$$

   $$g(3)=3^2-6\cdot 3+11=2.$$

   Следовательно, $$x=3$$ — решение уравнения.

2. б) Рассмотрим функции

   $$f(x)=2^{\,1-|x-1|}, \qquad g(x)=x^4-2x^2+3.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$x^4-2x^2+3=(x^2-1)^2+2 \ge 2.$$

   Левая часть принимает наибольшее значение при $$x=1$$:

   $$f(1)=2^{\,1-|1-1|}=2.$$

   Проверим $$x=1$$:

   $$g(1)=1^4-2\cdot 1^2+3=2.$$

   Значит, $$x=1$$ — решение уравнения.

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=1$$.