Упр.19.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) $$y=x\sqrt{x+p}, \quad y_{\min}=-6\sqrt{3}.$$

Найдём производную:

$$y’=\sqrt{x+p}+\frac{x}{2\sqrt{x+p}}=\frac{3x+2p}{2\sqrt{x+p}}.$$

Для наименьшего значения функция должна возрастать до точки минимума, значит

$$3x+2p=0,\quad x=-\frac{2p}{3}.$$

Подставим это значение в функцию:

$$y\left(-\frac{2p}{3}\right)=-\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{2p}{3}+p}=-\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}=-6\sqrt{3}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{4p^2}{9}\cdot \frac{p}{3}=108,$$

$$\frac{4p^3}{27}=108,$$

$$p^3=729,$$

$$p=9.$$

б) $$y=(p-x)\sqrt{x}, \quad y_{\max}=10\sqrt{5}.$$

Найдём производную:

$$y’=-\sqrt{x}+\frac{p-x}{2\sqrt{x}}=\frac{p-3x}{2\sqrt{x}}.$$

Для наибольшего значения имеем

$$p-3x=0,\quad x=\frac{p}{3}.$$

Подставим в функцию:

$$y\left(\frac{p}{3}\right)=\left(p-\frac{p}{3}\right)\sqrt{\frac{p}{3}}=10\sqrt{5}.$$

Тогда

$$\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}=10\sqrt{5},$$

$$\frac{4p^2}{9}\cdot \frac{p}{3}=500,$$

$$\frac{4p^3}{27}=500,$$

$$p^3=3375,$$

$$p=15.$$

а) $$\sin x-2\cos 2x+\sin 5x=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x.$$

Тогда

$$2\sin 3x\cos 2x-2\cos 2x=0,$$

$$2\cos 2x(\sin 3x-1)=0.$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=1.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\sin 3x=1 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$

б) $$\cos 5x-\sin 5x=\sin 7x-\cos 7x.$$

Перенесём слагаемые:

$$\cos 5x+\cos 7x=\sin 5x+\sin 7x.$$

По формулам приведения к произведению:

$$2\cos 6x\cos x=2\sin 6x\cos x,$$

$$2\cos x(\cos 6x-\sin 6x)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 6x-\sin 6x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\cos 6x-\sin 6x=0 \Rightarrow \tan 6x=1 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}.$$

в) $$\sin x-\cos x=\sqrt{1{,}5}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right).$$

Тогда

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Получаем

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Отсюда

$$x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{11\pi}{12}+2\pi n.$$

г) $$\cos 5x+\cos x+2\cos 3x=0.$$

Сгруппируем:

$$\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x.$$

Тогда

$$2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x=0,$$

$$2\cos 3x(\cos 2x+1)=0.$$

Отсюда

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-1.$$

1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\cos 2x=-1 \Rightarrow 2x=\pi+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

д) $$\cos 9x+\cos 3x=\cos x+\cos 7x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\cos 9x+\cos 3x-\cos x-\cos 7x=0.$$

Сгруппируем:

$$\cos 9x+\cos x=2\cos 5x\cos 4x,$$

$$\cos 7x+\cos 3x=2\cos 5x\cos 2x.$$

Тогда

$$2\cos 5x(\cos 4x-\cos 2x)=0.$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 4x-\cos 2x=-2\sin 3x\sin x.$$

Получаем

$$2\cos 5x\cdot(-2)\sin 3x\sin x=0.$$

Следовательно,

$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi n}{3}, \quad x=\pi n.$$

е) $$\cos x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{2}=0.$$

Перенесём число вправо:

$$\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2},$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{3}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$p=9$$; б) $$p=15$$.

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$;

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}$$;

в) $$x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n,\ \frac{11\pi}{12}+2\pi n$$;

г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{2}+\pi n$$;

д) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{3},\ \pi n$$;

е) $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{12}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.