Упр.19.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите область значений функции: а) $$y=2\cos x-\sin^2x$$; б) $$y=x\sqrt{x+2}$$; в) $$y=\cos^2x-2\sin^2x$$; г) $$y=x\sqrt{1-2x}$$.
- Вычислите: а) $$\frac{3\cos(196^\circ)-12\sin(74^\circ)}{\cos(16^\circ)}$$; в) $$\frac{5\sin(62^\circ)-9\cos(118^\circ)}{\cos(28^\circ)}$$; б) $$\frac{2\sqrt{2}\cos(83^\circ)+\sqrt{2}\sin(7^\circ)}{\cos(52^\circ)+\cos(38^\circ)}$$; г) $$\frac{2\sqrt{2}\sin(68^\circ)+5\sqrt{2}\cos(22^\circ)}{\cos(23^\circ)+\cos(67^\circ)}$$.
а) $$y=2\cos x-\sin^2 x.$$
Используем $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$y=2\cos x-(1-\cos^2 x)=\cos^2 x+2\cos x-1.$$
Положим $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=t^2+2t-1=(t+1)^2-2.$$
Минимум при $$t=-1$$: $$y_{\min}=-2$$, максимум при $$t=1$$: $$y_{\max}=2$$.
Следовательно, $$E(y)=[-2;2].$$
б) $$y=x\sqrt{x+2}.$$
Область определения: $$x+2\ge 0,$$ то есть $$x\ge -2.$$
Найдём производную:
$$y’=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$3x+4=0 \Rightarrow x=-\frac43.$$
Функция убывает на $$[-2;-\frac43]$$ и возрастает на $$[-\frac43;+\infty).$$
Значит, минимум достигается при $$x=-\frac43$$:
$$y\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2}=-\frac43\sqrt{\frac23}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$
Следовательно, $$E(y)=\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right).$$
в) $$y=\cos^2 x-2\sin^2 x.$$
Преобразуем:
$$y=\cos^2 x-2(1-\cos^2 x)=3\cos^2 x-2.$$
Так как $$\cos^2 x\in[0;1],$$ то
$$y\in[-2;1].$$
Следовательно, $$E(y)=[-2;1].$$
г) $$y=x\sqrt{1-2x}.$$
Область определения: $$1-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac12.$$
Найдём производную:
$$y’=\sqrt{1-2x}-\frac{x}{\sqrt{1-2x}}=\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}.$$
Критическая точка: $$1-3x=0 \Rightarrow x=\frac13.$$
На области определения функция возрастает до $$x=\frac13$$ и убывает после него, значит максимум достигается при $$x=\frac13$$:
$$y\left(\frac13\right)=\frac13\sqrt{1-\frac23}=\frac13\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{9}.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y=x\sqrt{1-2x}\to -\infty.$$
Следовательно, $$E(y)=\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right].$$
а) $$\frac{3\cos 196^\circ-12\sin 74^\circ}{\cos 16^\circ}.$$
$$\cos 196^\circ=\cos(180^\circ+16^\circ)=-\cos 16^\circ,$$
$$\sin 74^\circ=\sin(90^\circ-16^\circ)=\cos 16^\circ.$$
Тогда
$$\frac{3(-\cos 16^\circ)-12\cos 16^\circ}{\cos 16^\circ}=-15.$$
б) $$\frac{2\sqrt2\cos 83^\circ+\sqrt2\sin 7^\circ}{\cos 52^\circ+\cos 38^\circ}.$$
$$\cos 83^\circ=\cos(90^\circ-7^\circ)=\sin 7^\circ,$$
$$\cos 52^\circ+\cos 38^\circ=\cos(45^\circ+7^\circ)+\cos(45^\circ-7^\circ).$$
Используем формулу суммы косинусов:
$$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$
Тогда
$$\cos 52^\circ+\cos 38^\circ=2\cos 45^\circ\cos 7^\circ=\sqrt2\cos 7^\circ.$$
Числитель:
$$2\sqrt2\sin 7^\circ+\sqrt2\sin 7^\circ=3\sqrt2\sin 7^\circ.$$
Итак,
$$\frac{3\sqrt2\sin 7^\circ}{\sqrt2\cos 7^\circ}=3\tan 7^\circ.$$
в) $$\frac{5\sin 62^\circ-9\cos 118^\circ}{\cos 28^\circ}.$$
$$\sin 62^\circ=\sin(90^\circ-28^\circ)=\cos 28^\circ,$$
$$\cos 118^\circ=\cos(90^\circ+28^\circ)=-\sin 28^\circ,$$
поэтому
$$5\sin 62^\circ-9\cos 118^\circ=5\cos 28^\circ+9\cos 28^\circ=14\cos 28^\circ.$$
Тогда
$$\frac{14\cos 28^\circ}{\cos 28^\circ}=14.$$
г) $$\frac{2\sqrt2\sin 68^\circ+5\sqrt2\cos 22^\circ}{\cos 23^\circ+\cos 67^\circ}.$$
$$\sin 68^\circ=\sin(90^\circ-22^\circ)=\cos 22^\circ,$$
$$\cos 23^\circ+\cos 67^\circ=\cos(45^\circ-22^\circ)+\cos(45^\circ+22^\circ).$$
По формуле суммы косинусов:
$$\cos 23^\circ+\cos 67^\circ=2\cos 45^\circ\cos 22^\circ=\sqrt2\cos 22^\circ.$$
Числитель:
$$2\sqrt2\cos 22^\circ+5\sqrt2\cos 22^\circ=7\sqrt2\cos 22^\circ.$$
Следовательно,
$$\frac{7\sqrt2\cos 22^\circ}{\sqrt2\cos 22^\circ}=7.$$
Ответ
а) $$[-2;2]$$; б) $$\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right)$$; в) $$[-2;1]$$; г) $$\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right]$$; а) $$-15$$; б) $$3\tan 7^\circ$$; в) $$14$$; г) $$7$$.
