Упр.19.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите область значений функции: а) $$y=\frac{x^4}{x^4+1}$$; в) $$y=\frac{3x}{x^2+3}$$; б) $$y=\sqrt{2x-6}-x$$; г) $$y=x-\sqrt{3x-3}$$.
- Задание учебника 2022 года. Решите неравенство: а) $$\log_{\log_3 4}(x-2)\ ?\ 0$$; в) $$\log_{\log_5 3}(3x-7)\ ?\ 0$$; б) $$\frac{\log_7(2x-3{,}2)}{\log_7(\log_7 1{,}96)}\ ?\ 0$$; г) $$\frac{\log_6(3x+1)}{\log_6(\log_6 7{,}2)}\ ?\ 0$$.
Найдём область значений функции $$y=\frac{x^4}{x^4+1}.$$
Так как $$x^4\ge 0,$$ то $$y\ge 0.$$
Кроме того,
$$\frac{x^4}{x^4+1}=1-\frac{1}{x^4+1},$$
а значит, $$y<1.$$
При $$x=0$$ получаем $$y=0,$$ а при $$x\to\infty$$ имеем $$y\to 1.$$
Следовательно,
$$E(y)=[0;1).$$
Найдём область значений функции $$y=\sqrt{2x-6}-x.$$
Область определения: $$2x-6\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$
Исследуем производную:
$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-6}}-1.$$
Найдём, где функция возрастает:
$$\frac{1}{\sqrt{2x-6}}-1\ge 0,$$
$$\frac{1}{\sqrt{2x-6}}\ge 1,$$
$$\sqrt{2x-6}\le 1,$$
$$2x-6\le 1,$$
$$x\le \frac{7}{2}.$$
Значит, функция возрастает на $$\left[3;\frac{7}{2}\right].$$
Вычислим значения на концах этого промежутка:
$$y(3)=\sqrt{0}-3=-3,$$
$$y\!\left(\frac{7}{2}\right)=\sqrt{1}-\frac{7}{2}=1-\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}.$$
Так как при $$x\to +\infty$$ значение $$\sqrt{2x-6}-x\to -\infty,$$ то
$$E(y)=(-\infty;-\frac{5}{2}].$$
Найдём область значений функции $$y=\frac{3x}{x^2+3}.$$
Рассмотрим производную:
$$y'(x)=\frac{3(x^2+3)-6x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то
$$y'(x)\ge 0 \iff 9-3x^2\ge 0 \iff x^2\le 3,$$
то есть $$-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}.$$
Вычислим значения функции в точках экстремума:
$$y(-\sqrt{3})=\frac{3(-\sqrt{3})}{3+3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$y(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{3+3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$E(y)=\left[-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right].$$
Найдём область значений функции $$y=x-\sqrt{3x-3}.$$
Область определения: $$3x-3\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$
Исследуем производную:
$$y'(x)=1-\frac{3}{2\sqrt{3x-3}}.$$
Найдём, где функция возрастает:
$$1-\frac{3}{2\sqrt{3x-3}}\ge 0,$$
$$2\sqrt{3x-3}\ge 3,$$
$$4(3x-3)\ge 9,$$
$$12x-12\ge 9,$$
$$x\ge \frac{7}{4}.$$
Значит, функция возрастает на $$\left[\frac{7}{4};+\infty\right).$$
Найдём значение в точке $$x=\frac{7}{4}:$$
$$y\!\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{7}{4}-\sqrt{\frac{21}{4}-3}=\frac{7}{4}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty.$$
Следовательно,
$$E(y)=\left[\frac{1}{4};+\infty\right).$$
Решим неравенство $$\log_{\log_3 4}(x-2)\le 0.$$
Так как $$\log_3 4>1,$$ то основание логарифма больше 1, и
$$\log_{\log_3 4}(x-2)\le 0 \iff 0<x-2\le 1.$$
Отсюда
$$2<x\le 3.$$
Ответ: $$\left(2;3\right].$$
Решим неравенство $$\frac{\log_7(2x-3{,}2)}{\log_7(\log_7 1{,}96)}\le 0.$$
Так как $$\log_7 1{,}96<1,$$ то $$\log_7(\log_7 1{,}96)<0.$$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$$\log_7(2x-3{,}2)\ge 0.$$
Так как основание $$7>1,$$ то
$$2x-3{,}2\ge 1,$$
$$2x\ge 4{,}2,$$
$$x\ge 2{,}1.$$
Ответ: $$[2{,}1;+\infty).$$
Решим неравенство $$\log_{\log_5 3}(3x-7)\le 0.$$
Так как $$\log_5 3<1,$$ то основание логарифма меньше 1, и
$$\log_{\log_5 3}(3x-7)\le 0 \iff 3x-7\ge 1.$$
Тогда
$$3x\ge 8,$$
$$x\ge \frac{8}{3}.$$
Ответ: $$\left[\frac{8}{3};+\infty\right).$$
Решим неравенство $$\frac{\log_6(3x+1)}{\log_6(\log_6 7{,}2)}\le 0.$$
Так как $$\log_6 7{,}2>1,$$ то $$\log_6(\log_6 7{,}2)>0.$$
Значит, достаточно решить
$$\log_6(3x+1)\le 0.$$
Так как основание $$6>1,$$ то
$$0<3x+1\le 1.$$
Отсюда
$$-1<3x\le 0,$$
$$-\frac{1}{3}<x\le 0.$$
Ответ: $$\left(-\frac{1}{3};0\right].$$
Ответ
а) $$[0;1)$$; б) $$(-\infty;-\frac{5}{2}]$$; в) $$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$; г) $$\left[\frac{1}{4};+\infty\right)$$.
а) $$\left(2;3\right]$$; б) $$[2{,}1;+\infty)$$; в) $$\left[\frac{8}{3};+\infty\right)$$; г) $$\left(-\frac{1}{3};0\right]$$.
