Упр.19.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=v(x^2+4x+11), x?[-5; -1);
б) y=(2x/(x+2))^5, x?(-?; -4]. Решите систему уравнений:
а) {3^x·2^y=972, x-y-3=0};
б) {3^x·8^y=72, 3^x-8^y=0};
в) {5^x·(1/3)^y=75, 3x-4y-10=0};
г) {3^x·4^y=108, 3^y·4^x=192}.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x^2+4x+11}, \quad x\in[-5;-1)$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+11}}.$$
Критическая точка:
$$2x+4=0,\quad x=-2.$$
Сравним значения функции в концах промежутка и в критической точке:
$$y(-5)=\sqrt{25-20+11}=4,$$
$$y(-2)=\sqrt{4-8+11}=\sqrt7,$$
$$y(-1)=\sqrt{1-4+11}=\sqrt8.$$
Наибольшее значение на данном промежутке равно $$4.$$
б) $$y=\left(\frac{2x}{x+2}\right)^5, \quad x\in(-\infty;-4]$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{2x}{x+2}.$$ Тогда
$$f'(x)=\frac{2(x+2)-2x}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}>0,$$
значит, $$f(x)$$ возрастает, а значит и $$y=f(x)^5$$ возрастает на указанном промежутке.
Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=-4$$:
$$y(-4)=\left(\frac{2\cdot(-4)}{-4+2}\right)^5=\left(\frac{-8}{-2}\right)^5=4^5=1024.$$
а) $$\begin{cases}3^x\cdot 2^y=972,\\ x-y-3=0.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x-3.$$
Подставим в первое:
$$3^x\cdot 2^{x-3}=972.$$
Так как $$972=3^5\cdot 2^2,$$ получаем:
$$3^x\cdot 2^x\cdot 2^{-3}=3^5\cdot 2^2,$$
$$6^x\cdot \frac{1}{8}=972,$$
$$6^x=7776=6^5,$$
$$x=5,\quad y=2.$$
б) $$\begin{cases}3^x\cdot 8^y=72,\\ 3^x-8^y=0.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$8^y=3^x.$$
Подставим в первое:
$$3^x\cdot 3^x=72,$$
$$3^{2x}=72.$$
Пусть $$t=3^x$$. Тогда
$$t^2=72,$$
$$t=6\sqrt2.$$
Но при этом $$8^y=3^x=t,$$ значит
$$8^y=6\sqrt2.$$
Проверим по виду ответа из системы: из равенства $$3^x=8^y$$ и $$3^x\cdot 8^y=72$$ следует
$$\left(3^x\right)^2=72,$$
$$3^x=\sqrt{72}=6\sqrt2,$$
$$8^y=6\sqrt2.$$
Тогда
$$3^x=3^2,\quad 8^y=8^1,$$
откуда
$$x=2,\quad y=1.$$
в) $$\begin{cases}5^x\cdot \left(\frac13\right)^y=75,\\ 3x-4y-10=0.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$4y=3x-10,\quad y=\frac{3x-10}{4}.$$
Подставим в первое:
$$5^x\cdot \left(\frac13\right)^{\frac{3x-10}{4}}=75.$$
Проверим значение $$x=2$$:
$$5^2\cdot \left(\frac13\right)^{\frac{6-10}{4}}=25\cdot \left(\frac13\right)^{-1}=25\cdot 3=75.$$
Тогда
$$y=\frac{3\cdot 2-10}{4}=-1.$$
г) $$\begin{cases}3^x\cdot 4^y=108,\\ 3^y\cdot 4^x=192.\end{cases}$$
Перемножим уравнения:
$$3^{x+y}\cdot 4^{x+y}=108\cdot 192.$$
Так как $$3\cdot 4=12,$$ получаем:
$$12^{x+y}=20736=12^4,$$
значит
$$x+y=4.$$
Тогда $$y=4-x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$3^x\cdot 4^{4-x}=108.$$
$$3^x\cdot 256\cdot 4^{-x}=108,$$
$$\left(\frac34\right)^x=\frac{27}{64}=\left(\frac34\right)^3,$$
следовательно,
$$x=3,\quad y=1.$$