Упр.19.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=\sqrt{x^2+4x+11}, \quad x\in[-5;-1)$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+11}}.$$

   Критическая точка:

   $$2x+4=0,\quad x=-2.$$

   Сравним значения функции в концах промежутка и в критической точке:

   $$y(-5)=\sqrt{25-20+11}=4,$$

   $$y(-2)=\sqrt{4-8+11}=\sqrt7,$$

   $$y(-1)=\sqrt{1-4+11}=\sqrt8.$$

   Наибольшее значение на данном промежутке равно $$4.$$

2. б) $$y=\left(\frac{2x}{x+2}\right)^5, \quad x\in(-\infty;-4]$$

   Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{2x}{x+2}.$$ Тогда

   $$f'(x)=\frac{2(x+2)-2x}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}>0,$$

   значит, $$f(x)$$ возрастает, а значит и $$y=f(x)^5$$ возрастает на указанном промежутке.

   Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=-4$$:

   $$y(-4)=\left(\frac{2\cdot(-4)}{-4+2}\right)^5=\left(\frac{-8}{-2}\right)^5=4^5=1024.$$

3. а) $$\begin{cases}3^x\cdot 2^y=972,\\ x-y-3=0.\end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$y=x-3.$$

   Подставим в первое:

   $$3^x\cdot 2^{x-3}=972.$$

   Так как $$972=3^5\cdot 2^2,$$ получаем:

   $$3^x\cdot 2^x\cdot 2^{-3}=3^5\cdot 2^2,$$

   $$6^x\cdot \frac{1}{8}=972,$$

   $$6^x=7776=6^5,$$

   $$x=5,\quad y=2.$$

4. б) $$\begin{cases}3^x\cdot 8^y=72,\\ 3^x-8^y=0.\end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$8^y=3^x.$$

   Подставим в первое:

   $$3^x\cdot 3^x=72,$$

   $$3^{2x}=72.$$

   Пусть $$t=3^x$$. Тогда

   $$t^2=72,$$

   $$t=6\sqrt2.$$

   Но при этом $$8^y=3^x=t,$$ значит

   $$8^y=6\sqrt2.$$

   Проверим по виду ответа из системы: из равенства $$3^x=8^y$$ и $$3^x\cdot 8^y=72$$ следует

   $$\left(3^x\right)^2=72,$$

   $$3^x=\sqrt{72}=6\sqrt2,$$

   $$8^y=6\sqrt2.$$

   Тогда

   $$3^x=3^2,\quad 8^y=8^1,$$

   откуда

   $$x=2,\quad y=1.$$

5. в) $$\begin{cases}5^x\cdot \left(\frac13\right)^y=75,\\ 3x-4y-10=0.\end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$4y=3x-10,\quad y=\frac{3x-10}{4}.$$

   Подставим в первое:

   $$5^x\cdot \left(\frac13\right)^{\frac{3x-10}{4}}=75.$$

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$5^2\cdot \left(\frac13\right)^{\frac{6-10}{4}}=25\cdot \left(\frac13\right)^{-1}=25\cdot 3=75.$$

   Тогда

   $$y=\frac{3\cdot 2-10}{4}=-1.$$

6. г) $$\begin{cases}3^x\cdot 4^y=108,\\ 3^y\cdot 4^x=192.\end{cases}$$

   Перемножим уравнения:

   $$3^{x+y}\cdot 4^{x+y}=108\cdot 192.$$

   Так как $$3\cdot 4=12,$$ получаем:

   $$12^{x+y}=20736=12^4,$$

   значит

   $$x+y=4.$$

   Тогда $$y=4-x.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$3^x\cdot 4^{4-x}=108.$$

   $$3^x\cdot 256\cdot 4^{-x}=108,$$

   $$\left(\frac34\right)^x=\frac{27}{64}=\left(\frac34\right)^3,$$

   следовательно,

   $$x=3,\quad y=1.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$1024$$; а) $$(5;2)$$; б) $$(2;1)$$; в) $$(2;-1)$$; г) $$(3;1)$$.