Упр.19.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=0,5x+2/x, (-?; 0);
б) y=4x/(x^2+4), (0; +?);
в) y=4x^2 /(x^2+4), (-?; 4];
г) y=2x+2/x, (0; +?);
д) y=4x/(x^2+4), (-?; 0);
е) y=4x^2 /(x^2+4), [-4; +?). По двум прямолинейным тропинкам, пересекающимся в точке О под углом 60°, одновременно выходят два пешехода по направлению к точке О. Первый находится от точки О на расстоянии 4,75 км и идёт со скоростью 3 км/ч, второй находится от точки О на расстоянии 4 км и идёт со скоростью 2 км/ч. Через какое Bремя расстояние между пешеходами станет наименьшим?

1. а) $$y=0{,}5x+\frac{2}{x}, \quad (-\infty;0).$$

   $$y'(x)=0{,}5-\frac{2}{x^2}.$$

   Найдём критические точки:

   $$0{,}5-\frac{2}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=4 \;\Rightarrow\; x=-2 \;(\text{так как } x<0).$$

   На промежутке $$(-\infty;-2]$$ функция возрастает, на $$[-2;0)$$ убывает, значит, наибольшее значение достигается в точке $$x=-2$$:

   $$y(-2)=0{,}5\cdot(-2)+\frac{2}{-2}=-1-1=-2.$$

   При $$x\to 0-$$ значение функции уходит в $$-\infty$$, поэтому наименьшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\max}=-2,\; y_{\min}$$ не существует.

2. б) $$y=\frac{4x}{x^2+4}, \quad (0;+\infty).$$

   $$y'(x)=\frac{4(x^2+4)-4x\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}.$$

   $$y'(x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 16-4x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\le 4 \;\Rightarrow\; 0<x\le 2.$$

   Значит, функция возрастает на $$ (0;2] $$ и убывает на $$ [2;+\infty) $$, поэтому максимум достигается при $$x=2$$:

   $$y(2)=\frac{8}{4+4}=1.$$

   При $$x\to 0+$$ и $$x\to +\infty$$ значение функции стремится к $$0$$, но не достигает его, значит, минимума нет.

   Ответ: $$y_{\max}=1,\; y_{\min}$$ не существует.

3. в) $$y=\frac{4x^2}{x^2+4}, \quad (-\infty;4].$$

   $$y'(x)=\frac{8x(x^2+4)-4x^2\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{32x}{(x^2+4)^2}.$$

   Так как знаменатель положителен, то знак производной определяется знаком $$x$$. Следовательно, функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0$$.

   Минимум достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=0.$$

   При $$x\to -\infty$$ значение функции стремится к $$4$$, но на промежутке $$(-\infty;4]$$ это значение не достигается, поэтому наибольшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}=0,\; y_{\max}$$ не существует.

4. г) $$y=2x+\frac{2}{x}, \quad (0;+\infty).$$

   $$y'(x)=2-\frac{2}{x^2}.$$

   $$y'(x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 2-\frac{2}{x^2}\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2\ge 1 \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$

   Значит, функция убывает на $$ (0;1] $$ и возрастает на $$ [1;+\infty) $$, поэтому минимум достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=2+2=4.$$

   Максимума нет, так как при $$x\to 0+$$ и $$x\to +\infty$$ функция не ограничена сверху.

   Ответ: $$y_{\min}=4,\; y_{\max}$$ не существует.

5. д) $$y=\frac{4x}{x^2+4}, \quad (-\infty;0).$$

   $$y'(x)=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}.$$

   Критическая точка на данном промежутке: $$x=-2$$.

   На $$(-\infty;-2]$$ функция возрастает, на $$[-2;0)$$ убывает, значит, максимум достигается при $$x=-2$$:

   $$y(-2)=\frac{4\cdot(-2)}{(-2)^2+4}=\frac{-8}{8}=-1.$$

   При $$x\to -\infty$$ и $$x\to 0-$$ значение функции стремится к $$0$$, но не достигает его, поэтому минимума нет.

   Ответ: $$y_{\max}=-1,\; y_{\min}$$ не существует.

6. е) $$y=\frac{4x^2}{x^2+4}, \quad [-4;+\infty).$$

   $$y'(x)=\frac{32x}{(x^2+4)^2}.$$

   Функция убывает на $$[-4;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$, значит, минимум достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=0.$$

   При $$x\to +\infty$$ значение функции стремится к $$4$$, но не достигает его, поэтому максимума нет.

   Ответ: $$y_{\min}=0,\; y_{\max}$$ не существует.

Ход решения

Пусть $$t$$ ч — время в пути. Тогда расстояния до точки $$O$$ равны $$4{,}75-3t$$ и $$4-2t$$. По теореме косинусов при угле $$60^\circ$$ между тропинками:

$$S^2(t)=(4{,}75-3t)^2+(4-2t)^2-2(4{,}75-3t)(4-2t)\cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем:

$$S^2(t)=(4{,}75-3t)^2+(4-2t)^2-(4{,}75-3t)(4-2t).$$

Чтобы расстояние между пешеходами было наименьшим, достаточно минимизировать $$S^2(t)$$. Раскроем скобки:

$$S^2(t)=12{,}25-21t+7t^2.$$

Это квадратный трёхчлен, ветви направлены вверх, значит, минимум достигается в вершине:

$$t=\frac{21}{2\cdot 7}=1{,}5.$$

Проверим, что к этому моменту оба пешехода ещё не дошли до точки $$O$$: $$1{,}5<\frac{4}{2}=2$$ и $$1{,}5<\frac{4{,}75}{3}.$$

Ответ

$$1{,}5\text{ ч}$$