Упр.19.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $$y=x^3-4x^2+3,\ [0{,}5;+\infty)$$; б) $$y=\frac{1}{5}x^5-4x^2+5,\ (-\infty;1]$$; в) $$y=x-4\sqrt{x},\ [0;+\infty)$$; г) $$y=x^3-3x^2-2,\ (-\infty;0{,}5]$$; д) $$y=\frac{1}{5}x^5-x^3+3,\ [-1;+\infty)$$; е) $$y=3\sqrt{x}-x,\ [0;+\infty)$$.
- Металлическая заготовка длиной 1 м имеет форму усечённого конуса, диаметры оснований которого равны 10 см и 5 см. Из неё следует изготовить стержень наибольшего объёма в виде прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Найдите размеры такого стержня.
а) $$y=x^3-4x^2+3,\quad [0{,}5;+\infty)$$
$$y'(x)=3x^2-8x=x(3x-8)$$
На промежутке $$[0{,}5;+\infty)$$ критическая точка: $$x=\frac83.$$
Так как при $$x\to +\infty$$ функция $$y=x^3-4x^2+3$$ не ограничена сверху, наибольшего значения нет.
Найдём значение в точке минимума:
$$y\!\left(\frac83\right)=\frac{512}{27}-\frac{256}{9}+3=-\frac{175}{27}.$$
б) $$y=\frac15x^5-4x^2+5,\quad (-\infty;1]$$
$$y'(x)=x^4-8x=x(x^3-8)$$
На промежутке $$(-\infty;1]$$ функция убывает до точки $$x=0$$, затем возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в конце промежутка:
$$y(1)=\frac15-4+5=\frac65.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$, значит наименьшего значения нет.
в) $$y=x-4\sqrt{x},\quad [0;+\infty)$$
$$y'(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x}}$$
$$y'(x)=0 \iff \sqrt{x}=2 \iff x=4.$$
В точке $$x=4$$ достигается минимум:
$$y(4)=4-4\cdot 2=-4.$$
При $$x\to +\infty$$ функция не ограничена сверху, поэтому наибольшего значения нет.
г) $$y=x^3-3x^2-2,\quad (-\infty;0{,}5]$$
$$y'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$
На данном промежутке функция возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;0{,}5]$$, значит максимум достигается в точке $$x=0$$:
$$y(0)=-2.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$, поэтому наименьшего значения нет.
д) $$y=\frac15x^5-x^3+3,\quad [-1;+\infty)$$
$$y'(x)=x^4-3x^2=x^2(x^2-3)$$
Критическая точка на промежутке: $$x=\sqrt3.$$
В этой точке достигается минимум:
$$y(\sqrt3)=\frac15\cdot 9\sqrt3-3\sqrt3+3=3-\frac{6\sqrt3}{5}.$$
При $$x\to +\infty$$ функция не ограничена сверху, значит наибольшего значения нет.
е) $$y=3\sqrt{x}-x,\quad [0;+\infty)$$
$$y'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-1$$
$$y'(x)=0 \iff \frac{3}{2\sqrt{x}}=1 \iff \sqrt{x}=\frac32 \iff x=\frac94.$$
В этой точке достигается максимум:
$$y\!\left(\frac94\right)=3\cdot \frac32-\frac94=\frac94.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$, поэтому наименьшего значения нет.
Задача. Пусть $$x$$ — половина стороны квадратного основания, $$y$$ — высота стержня. Тогда сторона основания равна $$2x$$.
Сечение усечённого конуса на высоте $$y$$ имеет диаметр, линейно уменьшающийся от $$10$$ см до $$5$$ см, поэтому
$$2x=10-\frac{5}{100}y\cdot 2?$$
Удобнее записать через подобие: при высоте $$100$$ см диаметр уменьшается с $$10$$ до $$5$$ см, значит
$$2x=10-\frac{5}{100}y,$$
откуда
$$y=200-40x.$$
Объём стержня:
$$V(x)=(2x)^2y=4x^2(200-40x)=160x^2(5-x).$$
Но по геометрии стержень должен помещаться в круге диаметра $$2x$$, поэтому для квадрата со стороной $$2x$$ в круге диаметра $$10-\frac{5}{100}y$$ получаем условие максимума при
$$V(x)=160x^2(5-x\sqrt2).$$
Тогда
$$V'(x)=160\bigl(10x-3\sqrt2\,x^2\bigr)=160x(10-3\sqrt2\,x).$$
$$V'(x)=0 \iff x=\frac{10}{3\sqrt2}.$$
Следовательно, сторона основания
$$2x=\frac{10\sqrt2}{3}\text{ см},$$
а высота
$$y=40\left(5-\frac{10}{3}\right)=\frac{200}{3}\text{ см}=66\frac23\text{ см}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac{175}{27}$$, наибольшего значения нет; б) наименьшего значения нет, $$y_{\max}=\frac65$$; в) $$y_{\min}=-4$$, наибольшего значения нет; г) $$y_{\max}=-2$$, наименьшего значения нет; д) $$y_{\min}=3-\frac{6\sqrt3}{5}$$, наибольшего значения нет; е) $$y_{\max}=\frac94$$, наименьшего значения нет; стержень: $$\frac{10\sqrt2}{3}\text{ см} \times \frac{10\sqrt2}{3}\text{ см} \times 66\frac23\text{ см}.$$
