Упр.19.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=2cos(x), [-?; ?/2]; г) y=3sin(x), [-?/2; ?];
б) y=0,4sin(x), [-?/4; ?/2]; д) y=0,8cos(x), [-3?/2; ?/4];
в) y=2tg(x), [-?/4; ?/3]; е) y=-3tg(x), [-?/6; ?/4]. а) Число 60 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
б) Число 16 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
а) $$y=2\cos x,\quad \left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$
Найдём значения функции в концах отрезка и в критических точках.
$$y'(x)=-2\sin x$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$
На отрезке $$\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$ подходят точки $$x=-\pi,\ 0.$$
Вычислим значения:
$$ y(-\pi)=2\cos(-\pi)=-2,\quad y(0)=2\cos 0=2,\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}=0 $$
Наибольшее значение: $$2$$, наименьшее значение: $$-2$$.
б) $$y=0{,}4\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$
$$y'(x)=0{,}4\cos x$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
На отрезке есть точка $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения:
$$ y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0{,}4\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-0{,}4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{5}, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0{,}4\sin\frac{\pi}{2}=\frac{2}{5} $$
Наибольшее значение: $$\frac{2}{5}$$, наименьшее значение: $$-\frac{\sqrt2}{5}$$.
в) $$y=2\tg x,\quad \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$
На этом отрезке функция непрерывна, поэтому достаточно проверить концы отрезка.
$$ y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-2,\quad y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\tg\frac{\pi}{3}=2\sqrt3 $$
Наибольшее значение: $$2\sqrt3$$, наименьшее значение: $$-2$$.
г) $$y=3\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$
$$y'(x)=3\cos x$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
На отрезке подходит точка $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения:
$$ y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-3,\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\sin\frac{\pi}{2}=3,\quad y(\pi)=3\sin\pi=0 $$
Наибольшее значение: $$3$$, наименьшее значение: $$-3$$.
д) $$y=0{,}8\cos x,\quad \left[-\frac{3\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$
$$y'(x)=-0{,}8\sin x$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$
На отрезке подходит точка $$x=0.$$
Вычислим значения:
$$ y\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=0{,}8\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{2\sqrt2}{5},\quad y(0)=0{,}8,\quad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=0{,}8\cos\frac{\pi}{4}=\frac{2\sqrt2}{5} $$
Наибольшее значение: $$\frac{4}{5}$$, наименьшее значение: $$-\frac{2\sqrt2}{5}$$.
е) $$y=-3\tg x,\quad \left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}\right]$$
На этом отрезке функция непрерывна, поэтому проверим концы отрезка.
$$ y\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-3\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3,\quad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3\tg\frac{\pi}{4}=-3 $$
Наибольшее значение: $$\sqrt3$$, наименьшее значение: $$-3$$.
а) Число $$60$$ представим в виде суммы двух слагаемых:
$$x+y=60,\quad y=60-x$$
Произведение:
$$P(x)=x(60-x)=60x-x^2$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине:
$$x=\frac{60}{2}=30,\quad y=60-30=30$$
Наибольшее произведение получается при разложении $$60=30+30.$$
б) Число $$16$$ представим в виде суммы двух слагаемых:
$$x+y=16,\quad y=16-x$$
Сумма квадратов:
$$S(x)=x^2+y^2=x^2+(16-x)^2$$
$$S(x)=2x^2-32x+256$$
Это парабола, ветви которой направлены вверх, значит, минимум достигается в вершине:
$$x=\frac{32}{4}=8,\quad y=16-8=8$$
Наименьшая сумма квадратов получается при разложении $$16=8+8.$$
Ответ
а) $$-2;\ 2$$
б) $$-\frac{\sqrt2}{5};\ \frac{2}{5}$$
в) $$-2;\ 2\sqrt3$$
г) $$-3;\ 3$$
д) $$-\frac{2\sqrt2}{5};\ \frac{4}{5}$$
е) $$-3;\ \sqrt3$$
а) $$30+30$$
б) $$8+8$$
