Упр.19.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x^2-6x+5+|3-2x|, x?[0; 4];
б) y=|x^3-8|-4x, x?[-1; 2];
в) y=x^2+6x-5+|5-3x|, x?[-4; 1];
г) y=|x^3+8|-12x, x?[-1; 4]. а) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого составляет четверть меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна 68. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника.
б) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого на 10 меньше меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна 700. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника.

Подробный ответ

а) $$y=x^2-6x+5+|3-2x|,\quad x\in[0;4].$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x\le \frac32,$$ то $$|3-2x|=3-2x,$$ и
$$y=x^2-6x+5+3-2x=x^2-8x+8.$$
$$y'(x)=2x-8<0 \text{ на } [0;\tfrac32],$$ значит, на этом промежутке функция убывает, и минимум достигается при $$x=\frac32.$$
2) Если $$x>\frac32,$$ то $$|3-2x|=2x-3,$$ и
$$y=x^2-6x+5+2x-3=x^2-4x+2.$$
$$y'(x)=2x-4,$$ откуда критическая точка $$x=2.$$
Проверим значения в точках $$x=0,\ \frac32,\ 2,\ 4$$:
$$ y(0)=5+3=8,\\ y\!\left(\frac32\right)=\frac94-12+8=-\frac74,\\ y(2)=4-12+5+|3-4|=-2,\\ y(4)=16-24+5+|3-8|=2. $$
Наименьшее значение равно $$-2.$$
б) $$y=|x^3-8|-4x,\quad x\in[-1;2].$$
На отрезке $$[-1;2]$$ имеем $$x^3-8\le 0,$$ значит
$$|x^3-8|=8-x^3.$$
Тогда
$$y=8-x^3-4x.$$
$$y'(x)=-3x^2-4<0,$$ следовательно, функция убывает на всём отрезке.
Минимум достигается при $$x=2$$:
$$y(2)=|8-8|-8=-8.$$
в) $$y=x^2+6x-5+|5-3x|,\quad x\in[-4;1].$$
На отрезке $$[-4;1]$$ выполняется $$5-3x\ge 0,$$ поэтому
$$|5-3x|=5-3x.$$
Тогда
$$y=x^2+6x-5+5-3x=x^2+3x.$$
$$y'(x)=2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32.$$
Проверим значения в точках $$x=-4,\ -\frac32,\ 1$$:
$$ y(-4)=16-12=4,\\ y\!\left(-\frac32\right)=\frac94-\frac92=-\frac94,\\ y(1)=1+3=4. $$
Наименьшее значение равно $$-\frac94.$$
г) $$y=|x^3+8|-12x,\quad x\in[-1;4].$$
На отрезке $$[-1;4]$$ имеем $$x^3+8\ge 0,$$ значит
$$|x^3+8|=x^3+8.$$
Тогда
$$y=x^3+8-12x.$$
$$y'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
В отрезок $$[-1;4]$$ входит только $$x=2.$$ Проверим значения в точках $$x=-1,\ 2,\ 4$$:
$$ y(-1)=|-1+8|+12=19,\\ y(2)=|8+8|-24=-8,\\ y(4)=|64+8|-48=24. $$
Наименьшее значение равно $$-8.$$
а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b,$$ а сторона отрезанного квадрата равна $$x.$$ По условию $$x=\frac14 a,$$ значит $$a=4x.$$
Площадь получившегося шестиугольника:
$$ab-x^2=68.$$
Подставим $$a=4x$$:
$$4xb-x^2=68,$$
$$b=\frac{68+x^2}{4x}.$$
Периметр шестиугольника равен периметру прямоугольника:
$$P=2a+2b=8x+\frac{68+x^2}{2x}.$$
Тогда
$$P=8x+\frac{68}{2x}+\frac{x}{2}= \frac{17}{2}x+\frac{34}{x}.$$
Минимум найдём по неравенству AM-GM:
$$\frac{17}{2}x+\frac{34}{x}\ge 2\sqrt{\frac{17}{2}x\cdot \frac{34}{x}}=2\sqrt{289}=34.$$
Равенство достигается при $$\frac{17}{2}x=\frac{34}{x},$$ то есть при $$x=2.$$
Следовательно, наименьший периметр равен $$34.$$
б) Пусть сторона квадрата равна $$x,$$ тогда меньшая сторона прямоугольника равна $$x+10.$$
По условию площади:
$$ (x+10)b-x^2=700.$$
Отсюда
$$b=\frac{x^2+700}{x+10}.$$
Периметр шестиугольника:
$$P=2(x+10)+2b=2x+20+\frac{2x^2+1400}{x+10}.$$
Преобразуем:
$$ P=2x+20+2x-20+\frac{1600}{x+10} =4x+\frac{1600}{x+10}. $$
Положим $$t=x+10>0,$$ тогда $$x=t-10$$ и
$$P=4(t-10)+\frac{1600}{t}=4t-40+\frac{1600}{t}.$$
Минимум выражения $$4t+\frac{1600}{t}$$ достигается при
$$4t=\frac{1600}{t}\Rightarrow t^2=400\Rightarrow t=20.$$
Тогда
$$P_{\min}=4\cdot 20-40+\frac{1600}{20}=80-40+80=120.$$