Упр.19.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

На отрезке $$[-3;0]$$ найдите наибольшее значение функции:
а) $$y=1-x^2-4x$$;
б) $$y=3^{1-x^2-4x}$$;
в) $$y=\log_5(1-x^2-4x)$$;
г) $$y=3-x^2+2x$$;
д) $$y=5^{3-x^2+2x}$$;
е) $$y=\log_2(3-x^2+2x)$$.
Требуется изготовить коническую воронку с образующей 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=1-x^2-4x$$ на отрезке $$[-3;0]$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=-2x-4.$$
Критическая точка:
$$-2x-4=0,\quad x=-2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-3)=1-9+12=4,$$
$$y(-2)=1-4+8=5,$$
$$y(0)=1.$$
Наибольшее значение равно $$5$$.
Рассмотрим функцию $$y=3^{\,1-x^2-4x}$$ на отрезке $$[-3;0]$$.
Так как основание $$3>1$$, функция возрастает вместе с показателем степени. Поэтому достаточно найти максимум выражения $$1-x^2-4x$$, который уже найден в пункте а): он равен $$5$$ при $$x=-2$$.
Тогда
$$y_{\max}=3^5=243.$$
Рассмотрим функцию $$y=\log_5(1-x^2-4x)$$ на отрезке $$[-3;0]$$.
Аргумент логарифма на этом отрезке положителен, так как
$$1-x^2-4x>0.$$
Логарифмическая функция с основанием $$5>1$$ возрастает, значит максимум достигается там же, где максимум выражения $$1-x^2-4x$$.
При $$x=-2$$ получаем:
$$y_{\max}=\log_5 5=1.$$
Рассмотрим функцию $$y=3-x^2+2x$$ на отрезке $$[-3;0]$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=-2x+2.$$
Критическая точка:
$$-2x+2=0,\quad x=1.$$
Точка $$x=1$$ не принадлежит отрезку $$[-3;0]$$, значит максимум ищем на концах отрезка:
$$y(-3)=3-9-6=-12,$$
$$y(0)=3.$$
Наибольшее значение равно $$3$$.
Рассмотрим функцию $$y=5^{\,3-x^2+2x}$$ на отрезке $$[-3;0]$$.
Так как основание $$5>1$$, максимум функции достигается там, где максимален показатель $$3-x^2+2x$$. Из пункта г) он равен $$3$$ при $$x=0$$.
Следовательно,
$$y_{\max}=5^3=125.$$
Рассмотрим функцию $$y=\log_2(3-x^2+2x)$$ на отрезке $$[-3;0]$$.
Логарифм с основанием $$2>1$$ возрастает, поэтому максимум достигается там, где максимален аргумент $$3-x^2+2x$$.
Из пункта г) максимум аргумента равен $$3$$ при $$x=0$$. Тогда
$$y_{\max}=\log_2 3.$$
Пусть $$x$$ — радиус основания, $$y$$ — высота воронки. Тогда по условию образующая равна $$20$$ см, значит
$$x^2+y^2=400,$$
откуда
$$y=\sqrt{400-x^2}.$$
Объём конуса:
$$V(x)=\frac13\pi x^2y=\frac{\pi x^2\sqrt{400-x^2}}{3}.$$
Найдём максимум этой функции. Удобно рассматривать квадрат радиуса через высоту:
$$x^2=400-y^2,$$
тогда
$$V=\frac13\pi(400-y^2)y=\frac{\pi}{3}(400y-y^3).$$
Производная:
$$V'(y)=\frac{\pi}{3}(400-3y^2).$$
Приравниваем к нулю:
$$400-3y^2=0,\quad y^2=\frac{400}{3},\quad y=\frac{20\sqrt3}{3}.$$
Это и есть высота, при которой объём максимален.