Упр.19.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = 8x + 4cos 2x, [0; 2?]; б) y = sin^3 x + cos^3 x, [0; 2?];
в) y = 6x — 2sin 3x, [0; ?]; г) y = sin^5 x + cos^5 x, [0; ?]. Открытый металлический чан имеет форму цилиндра, объём которого равен 8?. Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы на его изготовление потребовалось как можно меньше металла?

а) $$y=8x+4\cos 2x,\quad x\in[0;2\pi].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=8-8\sin 2x=8(1-\sin 2x).$$

Так как $$\sin 2x\le 1,$$ то $$y'(x)\ge 0$$ на всём отрезке, значит функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=0,$$ а наибольшее — при $$x=2\pi.$$

$$y(0)=8\cdot 0+4\cos 0=4,$$

$$y(2\pi)=8\cdot 2\pi+4\cos 4\pi=16\pi+4.$$

б) $$y=\sin^3 x+\cos^3 x,\quad x\in[0;2\pi].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3\sin^2 x\cos x-3\sin x\cos^2 x=3\sin x\cos x(\sin x-\cos x).$$

Критические точки на отрезке:

$$\sin x=0,\quad \cos x=0,\quad \sin x=\cos x.$$

Отсюда получаем точки $$x=0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}.$$

Вычислим значения функции:

$$y(0)=1,\quad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad y(\pi)=-1,$$

$$y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2},\quad y\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\quad y\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}.$$

Значит, наибольшее значение равно $$1,$$ наименьшее — $$-1.$$

в) $$y=6x-2\sin 3x,\quad x\in[0;\pi].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=6-6\cos 3x=6(1-\cos 3x).$$

Так как $$\cos 3x\le 1,$$ то $$y'(x)\ge 0,$$ значит функция возрастает на отрезке. Тогда

$$y(0)=0,$$

$$y(\pi)=6\pi-2\sin 3\pi=6\pi.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$6\pi.$$

г) $$y=\sin^5 x+\cos^5 x,\quad x\in[0;\pi].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=5\sin^4 x\cos x-5\sin x\cos^4 x=5\sin x\cos x(\sin^3 x-\cos^3 x).$$

Критические точки на отрезке:

$$\sin x=0,\quad \cos x=0,\quad \sin x=\cos x.$$

Отсюда:

$$x=0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{\pi}{4}.$$

Вычислим значения функции:

$$y(0)=1,\quad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad y(\pi)=-1,\quad y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt2}.$$

Значит, наибольшее значение равно $$1,$$ наименьшее — $$-1.$$

Открытый металлический чан.

Пусть $$x$$ — радиус основания, $$y$$ — высота чана. Тогда по условию объёма

$$\pi x^2y=8\pi,\qquad y=\frac{8}{x^2}.$$

Площадь металла:

$$S(x)=2\pi xy+\pi x^2=2\pi x\cdot \frac{8}{x^2}+\pi x^2=\frac{16\pi}{x}+\pi x^2.$$

Найдём минимум:

$$S'(x)=-\frac{16\pi}{x^2}+2\pi x.$$

Приравняем к нулю:

$$-\frac{16\pi}{x^2}+2\pi x=0,$$

$$2x^3-16=0,$$

$$x^3=8,\qquad x=2.$$

Тогда

$$y=\frac{8}{2^2}=2.$$

Ответ

а) $$16\pi+4,\ 4$$; б) $$1,\ -1$$; в) $$6\pi,\ 0$$; г) $$1,\ -1$$; чан: $$r=2,\ h=2.$$