Упр.19.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=sin(x)+x, x?[-3?/2; ?/2];
б) y=2cos(x)-x, x?[-?/2; 3?/2];
в) y=tg(x)-x, x?[-?/3; ?/3];
г) y=sin(x)+x, x?[?/2; 5?/2];
д) y=x-cos(x), x?[-?; 3?/2];
е) y=ctg(x)+x, x?[?/4; 3?/4].
Найдите высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиусом 10 см.

1. а) $$y=\sin x+x,\quad x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

   $$y'(x)=\cos x+1\ge 0,$$ значит, функция не убывает на данном промежутке.

   $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1-\frac{3\pi}{2},\qquad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\frac{\pi}{2}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[1-\frac{3\pi}{2};\,1+\frac{\pi}{2}\right].$$

2. б) $$y=2\cos x-x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

   $$y'(x)=-2\sin x-1=0,\qquad \sin x=-\frac12.$$

   На отрезке получаем точки экстремума:

   $$x_1=-\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{5\pi}{6}.$$

   Считаем значения функции в концах отрезка и в критических точках:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2},\qquad y\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3+\frac{\pi}{6},$$
   $$y\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt3-\frac{5\pi}{6},\qquad y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{3\pi}{2}.$$

   Значит,

   $$E(y)=\left[-\sqrt3-\frac{5\pi}{6};\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}\right].$$

3. в) $$y=\tg x-x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right].$$

   $$y'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1\ge 0,$$ значит, функция не убывает.

   $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3+\frac{\pi}{3},\qquad y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3-\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[-\sqrt3+\frac{\pi}{3};\,\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right].$$

4. г) $$y=\sin x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right].$$

   $$y'(x)=\cos x+1\ge 0,$$ значит, функция не убывает на отрезке.

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\frac{\pi}{2},\qquad y\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1+\frac{5\pi}{2}.$$

   Значит,

   $$E(y)=\left[1+\frac{\pi}{2};\,1+\frac{5\pi}{2}\right].$$

5. д) $$y=x-\cos x,\quad x\in\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

   $$y'(x)=1+\sin x\ge 0,$$ значит, функция не убывает.

   $$y(-\pi)=-\pi+1,\qquad y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[1-\pi;\,\frac{3\pi}{2}\right].$$

6. е) $$y=\ctg x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

   $$y'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}+1<0,$$ значит, функция убывает на данном промежутке.

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\pi}{4},\qquad y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1+\frac{3\pi}{4}.$$

   Значит,

   $$E(y)=\left[-1+\frac{3\pi}{4};\,1+\frac{\pi}{4}\right].$$

7. Высота цилиндра наибольшего объёма.

   Пусть $$x$$ — диаметр основания цилиндра, а $$y$$ — его высота. Тогда по теореме Пифагора для сечения шара:

   $$\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=10^2,$$

   $$x^2+y^2=400,\qquad y=\sqrt{400-x^2}.$$

   Объём цилиндра:

   $$V(x)=\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2y=\frac{\pi x^2}{4}\sqrt{400-x^2}.$$

   Максимум объёма достигается при

   $$x=\frac{20\sqrt6}{3}.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{400-\frac{800}{3}}=\sqrt{\frac{400}{3}}=\frac{20\sqrt3}{3}.$$

   Следовательно, высота цилиндра равна

   $$\frac{20\sqrt3}{3}\text{ см}.$$

Ответ

а) $$\left[1-\frac{3\pi}{2};\,1+\frac{\pi}{2}\right]$$;
б) $$\left[-\sqrt3-\frac{5\pi}{6};\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}\right]$$;
в) $$\left[-\sqrt3+\frac{\pi}{3};\,\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right]$$;
г) $$\left[1+\frac{\pi}{2};\,1+\frac{5\pi}{2}\right]$$;
д) $$\left[1-\pi;\,\frac{3\pi}{2}\right]$$;
е) $$\left[-1+\frac{3\pi}{4};\,1+\frac{\pi}{4}\right]$$;
высота цилиндра: $$\frac{20\sqrt3}{3}\text{ см}$$.