Упр.19.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) $$y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}$$; б) $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$$; в) $$y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}$$; г) $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{-x}$$.
Периметр осевого сечения цилиндра 6 см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объём был наибольшим?

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}$$
Область определения: $$10-2x\ge 0,\quad x\ge 0,$$ значит $$0\le x\le 5.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}+\frac{3}{2\sqrt{3x}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$-\frac{1}{\sqrt{10-2x}}+\frac{3}{2\sqrt{3x}}=0$$
$$3\sqrt{10-2x}=2\sqrt{3x}$$
$$9(10-2x)=12x$$
$$90-18x=12x,\quad 30x=90,\quad x=3.$$
Считаем значения функции в концах промежутка и в критической точке:
$$y(0)=\sqrt{10},\quad y(3)=\sqrt{4}+\sqrt{9}=5,\quad y(5)=\sqrt{15}.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$\sqrt{10},$$ наибольшее — $$5.$$
б) $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$$
Область определения: $$5-x^2\ge 0,\quad x\ge 0,$$ значит $$0\le x\le \sqrt5.$$
Производная:
$$y'(x)=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=0$$
$$\sqrt{5-x^2}=2x\sqrt{x}$$
$$5-x^2=4x^3.$$
Подходит $$x=1.$$
Вычислим значения:
$$y(0)=\sqrt5,\quad y(1)=\sqrt4+\sqrt1=3,\quad y(\sqrt5)=\sqrt[4]{5}.$$
Значит, наименьшее значение равно $$\sqrt[4]{5},$$ наибольшее — $$3.$$
в) $$y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}$$
Область определения: $$x+1\ge 0,\quad -x\ge 0,$$ значит $$-1\le x\le 0.$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$\frac{3}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}=0$$
$$3\sqrt{-x}=\sqrt{x+1}$$
$$9(-x)=x+1$$
$$10x=-1,\quad x=-\frac{1}{10}.$$
Считаем значения:
$$y(-1)=1,\quad y\!\left(-\frac{1}{10}\right)=\sqrt{10},\quad y(0)=3.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$1,$$ наибольшее — $$\sqrt{10}.$$
г) $$y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{-x}$$
Область определения: $$5-x^2\ge 0,\quad -x\ge 0,$$ значит $$-\sqrt5\le x\le 0.$$
Производная:
$$y'(x)=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}-\frac{1}{2\sqrt{-x}}=0$$
$$2x\sqrt{-x}=-\sqrt{5-x^2}$$
$$4x^3=5-x^2.$$
Подходит $$x=-1.$$
Вычислим значения:
$$y(0)=\sqrt5,\quad y(-1)=3,\quad y(-\sqrt5)=\sqrt[4]{5}.$$
Значит, наименьшее значение равно $$\sqrt[4]{5},$$ наибольшее — $$3.$$
Задача про цилиндр. Пусть $$x$$ — диаметр основания, $$y$$ — высота цилиндра. Тогда по условию
$$2x+2y=6,\quad y=3-x.$$
Объём цилиндра:
$$V(x)=\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2y=\pi(3-x)\frac{x^2}{4}.$$
Найдём максимум на отрезке $$0\le x\le 3.$$
$$V'(x)=\frac{\pi}{4}(6x-3x^2)=\frac{3\pi}{4}x(2-x).$$
Отсюда максимум достигается при $$x=2.$$ Тогда
$$y=3-2=1.$$