Упр.19.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) $$y=x^2e^x,\ [-4;-1]$$;
б) $$y=x-\ln(x),\ \left[\frac{1}{e};e\right]$$;
в) $$y=x+\ln(-x),\ [-4;-0,5]$$;
г) $$y=x^2e^x,\ [-1;2]$$;
д) $$y=x-3\ln(x),\ [e;e^2]$$;
е) $$y=x+e^{-x},\ [-\ln(4);\ln(2)]$$. - Задание учебника 2022 года.
В основании пирамиды $$MABCD$$, объём которой равен $$9$$, лежит квадрат $$ABCD$$. Ребро $$MB$$ перпендикулярно плоскости основания. Какое наименьшее значение при этих условиях может иметь длина ребра $$MD$$?
а) $$y=x^2e^x,\quad [-4;-1]$$
$$y'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)$$
Критические точки на отрезке: $$x=-2$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-4)=16e^{-4}=\frac{16}{e^4}$$
$$y(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}$$
$$y(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}$$
Наименьшее значение: $$\frac{16}{e^4}$$, наибольшее значение: $$\frac{4}{e^2}$$.
б) $$y=x-\ln x,\quad \left[\frac{1}{e};e\right]$$
$$y'(x)=1-\frac{1}{x}$$
$$1-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=1$$
Значения функции:
$$y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+1$$
$$y(1)=1-\ln 1=1$$
$$y(e)=e-\ln e=e-1$$
Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее значение: $$e-1$$.
в) $$y=x+\ln(-x),\quad [-4;-0{,}5]$$
$$y'(x)=1+\frac{1}{x}$$
$$1+\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=-1$$
Значения функции:
$$y(-4)=-4+\ln 4$$
$$y(-1)=-1+\ln 1=-1$$
$$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5$$
Наибольшее значение: $$\ln 4-4$$, наименьшее значение: $$-1$$.
г) $$y=x^2e^x,\quad [-1;2]$$
$$y'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)$$
На отрезке лежит критическая точка $$x=0$$.
Значения функции:
$$y(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}$$
$$y(0)=0$$
$$y(2)=4e^2$$
Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$4e^2$$.
д) $$y=x-3\ln x,\quad [e;e^2]$$
$$y'(x)=1-\frac{3}{x}$$
$$1-\frac{3}{x}=0 \Rightarrow x=3$$
Значения функции:
$$y(e)=e-3\ln e=e-3$$
$$y(3)=3-3\ln 3=3-\ln 27$$
$$y(e^2)=e^2-3\ln e^2=e^2-6$$
Наименьшее значение: $$3-\ln 27$$, наибольшее значение: $$e^2-6$$.
е) $$y=x+e^{-x},\quad [-\ln 4;\ln 2]$$
$$y'(x)=1-e^{-x}$$
$$1-e^{-x}=0 \Rightarrow e^{-x}=1 \Rightarrow x=0$$
Значения функции:
$$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4$$
$$y(0)=0+e^0=1$$
$$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac{1}{2}$$
Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее значение: $$4-\ln 4$$.
Пирамида
Пусть $$x$$ — сторона квадрата основания, $$h=MB$$ — высота пирамиды. Тогда
$$\frac{1}{3}x^2h=9 \Rightarrow h=\frac{27}{x^2}$$
Так как $$MB\perp (ABCD)$$, то в прямоугольном треугольнике $$MBD$$
$$BD=x\sqrt{2}$$
$$MD=\sqrt{MB^2+BD^2}=\sqrt{\frac{729}{x^4}+2x^2}$$
Рассмотрим функцию
$$l(x)=\sqrt{2x^2+\frac{729}{x^4}}$$
Минимум достигается при
$$l'(x)=0 \Rightarrow x^6=729 \Rightarrow x=3$$
Тогда
$$MD_{\min}=\sqrt{2\cdot 3^2+\frac{729}{3^4}}=\sqrt{18+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$
Ответ
а) $$\frac{16}{e^4},\ \frac{4}{e^2}$$; б) $$1,\ e-1$$; в) $$\ln 4-4,\ -1$$; г) $$0,\ 4e^2$$; д) $$3-\ln 27,\ e^2-6$$; е) $$1,\ 4-\ln 4$$; $$3\sqrt{3}$$.
