Упр.19.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года: найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) $$y=\frac{x^2+4x-7}{x^2+4x-5},\quad [-4;-1]$$;
б) $$y=\frac{x^2-8x-11}{x^2-8x},\quad [2;7]$$. - Задание учебника 2022 года: при каких размерах прямоугольный параллелепипед объёмом $$8\ \text{м}^3$$ с квадратным основанием имеет наименьшую площадь поверхности?
а) Рассмотрим функцию
$$y=\frac{x^2+4x-7}{x^2+4x-5}, \quad x\in[-4;-1].$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(2x+4)(x^2+4x-5)-(2x+4)(x^2+4x-7)}{(x^2+4x-5)^2}.$$
Вынесем общий множитель:
$$y'(x)=\frac{(2x+4)\bigl[(x^2+4x-5)-(x^2+4x-7)\bigr]}{(x^2+4x-5)^2} =\frac{2(2x+4)}{(x^2+4x-5)^2}.$$
Критическая точка:
$$2x+4=0 \Rightarrow x=-2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-4)=\frac{16-16-7}{16-16-5}=\frac{-7}{-5}=\frac75,$$
$$y(-2)=\frac{4-8-7}{4-8-5}=\frac{-11}{-9}=\frac{11}{9},$$
$$y(-1)=\frac{1-4-7}{1-4-5}=\frac{-10}{-8}=\frac54.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$\frac{11}{9}$$, а наибольшее — $$\frac75$$.
б) Рассмотрим функцию
$$y=\frac{x^2-8x-11}{x^2-8x}, \quad x\in[2;7].$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(2x-8)(x^2-8x)-(2x-8)(x^2-8x-11)}{(x^2-8x)^2}.$$
Вынесем общий множитель:
$$y'(x)=\frac{(2x-8)\bigl[(x^2-8x)-(x^2-8x-11)\bigr]}{(x^2-8x)^2} =\frac{11(2x-8)}{(x^2-8x)^2}.$$
Критическая точка:
$$2x-8=0 \Rightarrow x=4.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(2)=\frac{4-16-11}{4-16}=\frac{-23}{-12}=\frac{23}{12},$$
$$y(4)=\frac{16-32-11}{16-32}=\frac{-27}{-16}=\frac{27}{16},$$
$$y(7)=\frac{49-56-11}{49-56}=\frac{-18}{-7}=\frac{18}{7}.$$
Значит, наименьшее значение равно $$\frac{27}{16}$$, а наибольшее — $$\frac{18}{7}$$.
в) Пусть сторона квадратного основания равна $$x$$ м, а высота параллелепипеда — $$y$$ м. Тогда
$$x^2y=8,\qquad y=\frac{8}{x^2}.$$
Площадь поверхности:
$$S(x)=2x^2+4xy=2x^2+\frac{32}{x}.$$
Найдём минимум этой функции при $$x>0$$:
$$S'(x)=4x-\frac{32}{x^2}.$$
Приравняем производную к нулю:
$$4x-\frac{32}{x^2}=0 \Rightarrow 4x^3-32=0 \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2.$$
Тогда
$$y=\frac{8}{2^2}=2.$$
Следовательно, наименьшая площадь поверхности будет у параллелепипеда с размерами $$2\text{ м}\times 2\text{ м}\times 2\text{ м}$$.
Ответ
а) $$\frac{11}{9}$$; $$\frac75$$.
б) $$\frac{27}{16}$$; $$\frac{18}{7}$$.
в) $$2\text{ м}\times 2\text{ м}\times 2\text{ м}$$.
