Упр.19.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) $$y=\frac{x+3}{x-4},\ [-1;3]$$;
б) $$y=\frac{3x-5}{x+4},\ [-11;-7]$$;
в) $$y=\frac{2x^2-3}{x-1},\ [2;4]$$;
г) $$y=\frac{x-5}{x+2},\ [-9;-5]$$;
д) $$y=\frac{2x-3}{x-5},\ [6;10]$$;
е) $$y=\frac{2x^2-7}{x+1},\ [-6;-2]$$. - Из прямоугольной трапеции надо вырезать прямоугольник наибольшей площади, у которого один из прямых углов совпадает с прямым углом трапеции. Чему равна эта площадь, если:
а) основания трапеции равны 8 см и 24 см, а высота равна 12 см;
б) основания трапеции равны 6 см и 8 см, а высота равна 10 см?
а) $$y=\frac{x+3}{x-4}, \quad [-1;3]$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x-4)-(x+3)}{(x-4)^2}=\frac{-7}{(x-4)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на отрезке $$[-1;3]$$, поэтому наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой.
$$y(-1)=\frac{-1+3}{-1-4}=\frac{2}{-5}=-\frac25,$$
$$y(3)=\frac{3+3}{3-4}=\frac{6}{-1}=-6.$$
Наибольшее значение: $$-\frac25$$, наименьшее: $$-6$$.
б) $$y=\frac{3x-5}{x+4}, \quad [-11;-7]$$
$$y'(x)=\frac{3(x+4)-(3x-5)}{(x+4)^2}=\frac{17}{(x+4)^2}>0.$$
Функция возрастает на отрезке $$[-11;-7]$$, значит, минимум в левой границе, максимум в правой.
$$y(-11)=\frac{3\cdot(-11)-5}{-11+4}=\frac{-38}{-7}=\frac{38}{7},$$
$$y(-7)=\frac{3\cdot(-7)-5}{-7+4}=\frac{-26}{-3}=\frac{26}{3}.$$
Наименьшее значение: $$\frac{38}{7}$$, наибольшее: $$\frac{26}{3}$$.
в) $$y=\frac{2x^2-3}{x-1}, \quad [2;4]$$
$$y'(x)=\frac{4x(x-1)-(2x^2-3)}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^2}.$$
Рассмотрим числитель:
$$2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1>0.$$
Следовательно, $$y'(x)>0$$ на всём отрезке, и функция возрастает.
$$y(2)=\frac{2\cdot 2^2-3}{2-1}=5,$$
$$y(4)=\frac{2\cdot 4^2-3}{4-1}=\frac{29}{3}.$$
Наименьшее значение: $$5$$, наибольшее: $$\frac{29}{3}$$.
г) $$y=\frac{x-5}{x+2}, \quad [-9;-5]$$
$$y'(x)=\frac{(x+2)-(x-5)}{(x+2)^2}=\frac{7}{(x+2)^2}>0.$$
Функция возрастает на отрезке $$[-9;-5]$$.
$$y(-9)=\frac{-9-5}{-9+2}=\frac{-14}{-7}=2,$$
$$y(-5)=\frac{-5-5}{-5+2}=\frac{-10}{-3}=\frac{10}{3}.$$
Наименьшее значение: $$2$$, наибольшее: $$\frac{10}{3}$$.
д) $$y=\frac{2x-3}{x-5}, \quad [6;10]$$
$$y'(x)=\frac{2(x-5)-(2x-3)}{(x-5)^2}=\frac{-7}{(x-5)^2}<0.$$
Функция убывает на отрезке $$[6;10]$$.
$$y(6)=\frac{12-3}{6-5}=9,$$
$$y(10)=\frac{20-3}{10-5}=\frac{17}{5}.$$
Наибольшее значение: $$9$$, наименьшее: $$\frac{17}{5}$$.
е) $$y=\frac{2x^2-7}{x+1}, \quad [-6;-2]$$
$$y'(x)=\frac{4x(x+1)-(2x^2-7)}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+4x+7}{(x+1)^2}.$$
Так как
$$2x^2+4x+7=2(x+1)^2+5>0,$$
то $$y'(x)>0$$, и функция возрастает.
$$y(-6)=\frac{2\cdot 36-7}{-6+1}=\frac{65}{-5}=-13,$$
$$y(-2)=\frac{2\cdot 4-7}{-2+1}=\frac{1}{-1}=-1.$$
Наименьшее значение: $$-13$$, наибольшее: $$-1$$.
Задача о прямоугольнике в трапеции
а) $$a=8\text{ см}, \quad b=24\text{ см}, \quad h=12\text{ см}.$$
Пусть $$x$$ — высота прямоугольника. Тогда его ширина зависит от положения:
если $$x\le 8$$, то $$S(x)=12x$$;
если $$x>8$$, то ширина уменьшается линейно, и
$$S(x)=\frac{12x(24-x)}{16}=\frac{3x(24-x)}{4}.$$
На втором участке
$$S'(x)=\frac{3(24-2x)}{4}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 12,$$
поэтому максимум достигается при $$x=12$$:
$$S_{\max}=\frac{3\cdot 12\cdot(24-12)}{4}=108.$$
Ответ: $$108\text{ см}^2$$.
б) $$a=6\text{ см}, \quad b=8\text{ см}, \quad h=10\text{ см}.$$
Если $$x\le 6$$, то $$S(x)=10x$$.
Если $$x>6$$, то
$$S(x)=\frac{10x(8-x)}{2}=5x(8-x).$$
На втором участке
$$S'(x)=5(8-2x)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 4,$$
поэтому наибольшая площадь достигается при $$x=6$$:
$$S_{\max}=10\cdot 6=60.$$
Ответ: $$60\text{ см}^2$$.
Ответ
а) $$-\frac25$$ и $$-6$$; б) $$\frac{38}{7}$$ и $$\frac{26}{3}$$; в) $$5$$ и $$\frac{29}{3}$$; г) $$2$$ и $$\frac{10}{3}$$; д) $$9$$ и $$\frac{17}{5}$$; е) $$-13$$ и $$-1$$; задача: а) $$108\text{ см}^2$$, б) $$60\text{ см}^2$$.
