Упр.19.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке: а) $$y=8x^5$$, $$[-1; 3]$$; б) $$y=vx+1$$, $$[1; 4]$$; в) $$y=-\frac{6}{x}$$, $$[-6; -1]$$; г) $$y=6x^4$$, $$[-3; 2]$$; д) $$y=v(-x)+2$$, $$[-8; -1]$$; е) $$y=\frac{7}{x}$$, $$[1; 7]$$.
- а) Найдите такое число, что разность между ним и его квадратом является наибольшей.
б) Найдите такое положительное число, что разность между ним и его утроенным кубом является наибольшей.
а) $$y=8x^5,\quad [-1;3]$$
Найдём производную:
$$y'(x)=40x^4.$$
Критическая точка:
$$40x^4=0 \Rightarrow x=0.$$
Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-1)=8\cdot(-1)^5=-8,$$
$$y(0)=0,$$
$$y(3)=8\cdot 3^5=8\cdot 243=1944.$$
Наименьшее значение: $$-8$$, наибольшее значение: $$1944$$.
б) $$y=\sqrt{x}+1,\quad [1;4]$$
Функция возрастает на данном отрезке, так как
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0.$$
Значит, наименьшее значение достигается при $$x=1$$, а наибольшее — при $$x=4$$:
$$y(1)=\sqrt{1}+1=2,$$
$$y(4)=\sqrt{4}+1=3.$$
Наименьшее значение: $$2$$, наибольшее значение: $$3$$.
в) $$y=-\frac{6}{x},\quad [-6;-1]$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{6}{x^2}>0.$$
Функция возрастает на отрезке, поэтому проверим концы:
$$y(-6)=-\frac{6}{-6}=1,$$
$$y(-1)=-\frac{6}{-1}=6.$$
Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее значение: $$6$$.
г) $$y=6x^4,\quad [-3;2]$$
Найдём производную:
$$y'(x)=24x^3.$$
Критическая точка:
$$24x^3=0 \Rightarrow x=0.$$
Сравним значения функции:
$$y(-3)=6\cdot 81=486,$$
$$y(0)=0,$$
$$y(2)=6\cdot 16=96.$$
Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$486$$.
д) $$y=\sqrt{-x}+2,\quad [-8;-1]$$
Производная:
$$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}<0.$$
Функция убывает на отрезке, значит, наибольшее значение достигается при $$x=-8$$, а наименьшее — при $$x=-1$$:
$$y(-8)=\sqrt{8}+2=2\sqrt{2}+2,$$
$$y(-1)=\sqrt{1}+2=3.$$
Наибольшее значение: $$2\sqrt{2}+2$$, наименьшее значение: $$3$$.
е) $$y=\frac{7}{x},\quad [1;7]$$
Производная:
$$y'(x)=-\frac{7}{x^2}<0.$$
Функция убывает на отрезке, поэтому:
$$y(1)=7,$$
$$y(7)=1.$$
Наибольшее значение: $$7$$, наименьшее значение: $$1$$.
а) Пусть $$x$$ — данное число. Тогда разность между числом и его квадратом:
$$D(x)=x-x^2.$$
Найдём производную:
$$D'(x)=1-2x.$$
Критическая точка:
$$1-2x=0 \Rightarrow x=\frac12.$$
Так как парабола $$D(x)=x-x^2$$ ветвями вниз, в этой точке достигается максимум.
Ответ: $$0{,}5$$.
б) Пусть $$x>0$$ — данное число. Тогда разность между числом и его утроенным кубом:
$$D(x)=x-3x^3.$$
Найдём производную:
$$D'(x)=1-9x^2.$$
Критическая точка на положительной полуоси:
$$1-9x^2=0 \Rightarrow 9x^2=1 \Rightarrow x=\frac13.$$
При $$x>0$$ это точка максимума.
Ответ: $$\frac13$$.
Ответ
а) $$-8$$ и $$1944$$; б) $$2$$ и $$3$$; в) $$1$$ и $$6$$; г) $$0$$ и $$486$$; д) $$3$$ и $$2\sqrt{2}+2$$; е) $$1$$ и $$7$$; а) $$0{,}5$$; б) $$\frac13$$.
