Упр.18.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=x-1/x; в) y=x^3 /(3-x^2);
б) y=(1-x^2)/(4-x^2); г) y=x/(1-x^2). Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) y=(x+3)/(X-4), [-1; 3]; г) y=(x-5)/(x+2), [-9; -5];
б) y=(3x-5)/(x+4), [-11; -7]; д) y=(2x-3)/(x-5), [6; 10];
в) y=(2x^2-3)/(x-1), [2; 4]; е) y=(2x^2-7)/(x+1), [-6; -2].
1. Исследуем функции и строим графики.
$$y=x-\frac{1}{x}$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=-x+\frac{1}{x}=-(x-\frac{1}{x})=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на каждом промежутке области определения.
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Асимптоты:
$$y=x,\qquad x=0.$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\frac{1-x^2}{4-x^2}$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\frac{1-(-x)^2}{4-(-x)^2}=\frac{1-x^2}{4-x^2}=y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{-2x(4-x^2)+2x(1-x^2)}{(4-x^2)^2}=\frac{-6x}{(4-x^2)^2}.$$
Тогда
$$y'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad y'(x)<0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0)$$ и убывает на $$ (0;2)\cup(2;+\infty).$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Асимптоты:
$$y=1,\qquad x=\pm 2.$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
$$y=\frac{x^3}{3-x^2}$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{3x^2(3-x^2)+2x\cdot x^3}{(3-x^2)^2}=\frac{x^2(9-x^2)}{(3-x^2)^2}.$$
Отсюда
$$y'(x)\ge 0 \text{ при } |x|\le 3,$$
поэтому функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\sqrt3),\;(-\sqrt3;\sqrt3),\;(\sqrt3;+\infty).$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty).$$
Асимптоты:
$$y=-x,\qquad x=\pm\sqrt3.$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\frac{x}{1-x^2}$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(1-x^2)+2x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на каждом промежутке области определения.
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Асимптоты:
$$y=0,\qquad x=\pm1.$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
2. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезках.
$$y=\frac{x+3}{x-4},\quad [-1;3]$$
$$y'(x)=\frac{(x-4)-(x+3)}{(x-4)^2}=\frac{-7}{(x-4)^2}<0.$$
Функция убывает на отрезке, значит:
$$y(-1)=\frac{2}{-5}=-\frac25,\qquad y(3)=\frac{6}{-1}=-6.$$
Наибольшее значение: $$-\frac25$$, наименьшее значение: $$-6$$.
$$y=\frac{3x-5}{x+4},\quad [-11;-7]$$
$$y'(x)=\frac{3(x+4)-(3x-5)}{(x+4)^2}=\frac{17}{(x+4)^2}>0.$$
Функция возрастает на отрезке, значит:
$$y(-11)=\frac{-33-5}{-11+4}=\frac{38}{7},\qquad y(-7)=\frac{-21-5}{-7+4}=\frac{26}{3}.$$
Наименьшее значение: $$\frac{38}{7}$$, наибольшее значение: $$\frac{26}{3}$$.
$$y=\frac{2x^2-3}{x-1},\quad [2;4]$$
$$y'(x)=\frac{2\cdot 2x(x-1)-(2x^2-3)}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^2}.$$
Числитель всегда положителен, так как
$$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=-8<0.$$
Значит, функция возрастает на отрезке:
$$y(2)=\frac{8-3}{2-1}=5,\qquad y(4)=\frac{32-3}{4-1}=\frac{29}{3}.$$
Наименьшее значение: $$5$$, наибольшее значение: $$\frac{29}{3}$$.
$$y=\frac{x-5}{x+2},\quad [-9;-5]$$
$$y'(x)=\frac{(x+2)-(x-5)}{(x+2)^2}=\frac{7}{(x+2)^2}>0.$$
Функция возрастает на отрезке:
$$y(-9)=\frac{-14}{-7}=2,\qquad y(-5)=\frac{-10}{-3}=\frac{10}{3}.$$
Наименьшее значение: $$2$$, наибольшее значение: $$\frac{10}{3}$$.
$$y=\frac{2x-3}{x-5},\quad [6;10]$$
$$y'(x)=\frac{2(x-5)-(2x-3)}{(x-5)^2}=\frac{-7}{(x-5)^2}<0.$$
Функция убывает на отрезке:
$$y(6)=\frac{12-3}{6-5}=9,\qquad y(10)=\frac{20-3}{10-5}=\frac{17}{5}.$$
Наибольшее значение: $$9$$, наименьшее значение: $$\frac{17}{5}$$.
$$y=\frac{2x^2-7}{x+1},\quad [-6;-2]$$
$$y'(x)=\frac{2\cdot 2x(x+1)-(2x^2-7)}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+4x+7}{(x+1)^2}.$$
Так как
$$D=4^2-4\cdot 2\cdot 7=-40<0,$$
то числитель всегда положителен, значит функция возрастает на отрезке:
$$y(-6)=\frac{72-7}{-6+1}=-13,\qquad y(-2)=\frac{8-7}{-2+1}=-1.$$
Наименьшее значение: $$-13$$, наибольшее значение: $$-1$$.
Ответ
1) а) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$; б) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),\ E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$; в) $$D(y)=(-\infty;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$; г) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$.
2) а) $$-\frac25,\ -6$$; б) $$\frac{38}{7},\ \frac{26}{3}$$; в) $$5,\ \frac{29}{3}$$; г) $$2,\ \frac{10}{3}$$; д) $$9,\ \frac{17}{5}$$; е) $$-13,\ -1$$.
