Упр.18.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Сколько корней имеет заданное уравнение при различных значениях параметра $$p$$: а) $$x^3-x^2-x=p$$; в) $$x^3-2x^2+x=p$$; б) $$3x^5-5x^3=p$$; г) $$5x-x^5=p$$?
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x+\frac{9}{x-2}$$ на отрезке: а) $$[-7;-1]$$; в) $$[3;1]$$; д) $$[3;8]$$; б) $$[3;5]$$; г) $$[4;11]$$; е) $$[-7;0]$$.
1) Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра $$p$$
Число корней уравнения $$f(x)=p$$ определяем по графику функции $$y=f(x)$$: на участках возрастания и убывания находим точки экстремума и значения функции в них.
$$x^3-x^2-x=p$$
$$y=x^3-x^2-x,\quad y'(x)=3x^2-2x-1$$
$$3x^2-2x-1=0,\quad D=4+12=16$$
$$x_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{2+4}{6}=1$$
Знаки производной:
$$y'(x)=(3x+1)(x-1)$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac13]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[-\frac13;1]$$.
$$y\!\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac19+\frac13=\frac5{27},\qquad y(1)=1-1-1=-1$$
Отсюда:
один корень при $$p<-1$$ и $$p>\frac5{27}$$;
два корня при $$p=-1$$ и $$p=\frac5{27}$$;
три корня при $$-1<p<\frac5{27}$$.
$$3x^5-5x^3=p$$
$$y=3x^5-5x^3,\quad y'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)$$
$$y'(x)\ge 0 \iff x^2(x^2-1)\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Функция убывает на $$[-1;1]$$ и возрастает вне этого промежутка.
$$y(-1)=-3+5=2,\qquad y(1)=3-5=-2$$
Отсюда:
один корень при $$p<-2$$ и $$p>2$$;
два корня при $$p=-2$$ и $$p=2$$;
три корня при $$-2<p<2$$.
$$x^3-2x^2+x=p$$
$$y=x^3-2x^2+x,\quad y'(x)=3x^2-4x+1$$
$$3x^2-4x+1=0,\quad D=16-12=4$$
$$x_1=\frac{4-2}{6}=\frac13,\quad x_2=\frac{4+2}{6}=1$$
$$y'(x)=(3x-1)(x-1)$$
Функция возрастает на $$(-\infty;\frac13]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[\frac13;1]$$.
$$y\!\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac2{9}+\frac13=\frac4{27},\qquad y(1)=1-2+1=0$$
Отсюда:
один корень при $$p<0$$ и $$p>\frac4{27}$$;
два корня при $$p=0$$ и $$p=\frac4{27}$$;
три корня при $$0<p<\frac4{27}$$.
$$5x-x^5=p$$
$$y=5x-x^5,\quad y'(x)=5-5x^4=5(1-x^4)$$
$$y'(x)\ge 0 \iff x^4\le 1 \iff -1\le x\le 1$$
Функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает вне этого промежутка.
$$y(-1)=-5+1=-4,\qquad y(1)=5-1=4$$
Отсюда:
один корень при $$p<-4$$ и $$p>4$$;
два корня при $$p=-4$$ и $$p=4$$;
три корня при $$-4<p<4$$.
2) Наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x+\dfrac{9}{x-2}$$ на отрезках
$$y=x+\frac{9}{x-2},\quad y'(x)=1-\frac{9}{(x-2)^2}$$
$$y'(x)=0 \iff (x-2)^2=9 \iff x=-1 \text{ или } x=5$$
$$y(-1)=-1+\frac{9}{-3}=-4,\qquad y(5)=5+\frac{9}{3}=8$$
На каждом из данных отрезков достаточно сравнить значения функции в концах и, если точка экстремума принадлежит отрезку, в этой точке.
$$[-7;-1]$$
$$y(-7)=-7+\frac{9}{-9}=-8,\qquad y(-1)=-4$$
Наименьшее значение: $$-8$$, наибольшее: $$-4$$.
$$[3;5]$$
$$y(3)=3+\frac{9}{1}=12,\qquad y(5)=8$$
Наименьшее значение: $$8$$, наибольшее: $$12$$.
$$[-3;1]$$
$$y(-3)=-3+\frac{9}{-5}=-\frac{24}{5},\qquad y(1)=1+\frac{9}{-1}=-8$$
Наименьшее значение: $$-8$$, наибольшее: $$-\frac{24}{5}$$.
$$[4;11]$$
$$y(4)=4+\frac{9}{2}=\frac{17}{2},\qquad y(11)=11+\frac{9}{9}=12,\qquad y(5)=8$$
Наименьшее значение: $$8$$, наибольшее: $$12$$.
$$[3;8]$$
$$y(3)=12,\qquad y(5)=8,\qquad y(8)=8+\frac{9}{6}=\frac{17}{2}$$
Наименьшее значение: $$8$$, наибольшее: $$12$$.
$$[-7;0]$$
$$y(-7)=-8,\qquad y(0)=\frac{9}{-2}=-\frac92$$
Наименьшее значение: $$-8$$, наибольшее: $$-\frac92$$.
Ответ
1) а) $$1$$ корень при $$p<-1$$ и $$p>\frac5{27}$$; $$2$$ корня при $$p=-1$$ и $$p=\frac5{27}$$; $$3$$ корня при $$-1<p<\frac5{27}$$.
б) $$1$$ корень при $$p<-2$$ и $$p>2$$; $$2$$ корня при $$p=-2$$ и $$p=2$$; $$3$$ корня при $$-2<p<2$$.
в) $$1$$ корень при $$p<0$$ и $$p>\frac4{27}$$; $$2$$ корня при $$p=0$$ и $$p=\frac4{27}$$; $$3$$ корня при $$0<p<\frac4{27}$$.
г) $$1$$ корень при $$p<-4$$ и $$p>4$$; $$2$$ корня при $$p=-4$$ и $$p=4$$; $$3$$ корня при $$-4<p<4$$.
2) а) $$-8$$ и $$-4$$; б) $$8$$ и $$12$$; в) $$-8$$ и $$-\frac{24}{5}$$; г) $$8$$ и $$12$$; д) $$8$$ и $$12$$; е) $$-8$$ и $$-\frac92$$.
