Упр.18.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) уравнение 3x^2 — x^3 = p-2 имеет единственный корень;
б) уравнение x^4 — 2x^2 = p+1 не имеет корней? Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x^4-8x^3+10x^2+1 на отрезке:
а) [2; 3]; в) [-1; 6]; д) [-2; 2];
б) [-1; 2]; г) [1; 4]; е) [0; 6].

Подробный ответ

1) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение имеет единственный корень

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x^2-x^3$$. Тогда уравнение можно записать в виде $$f(x)=p-2$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.

Значения функции в них:

$$f(0)=0,\qquad f(2)=12-8=4.$$

Функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, поэтому горизонтальная прямая $$y=p-2$$ пересекает график ровно в одной точке, если она лежит ниже минимума или выше максимума:

$$p-2<0 \quad \text{или} \quad p-2>4.$$

Отсюда

$$p<2 \quad \text{или} \quad p>6.$$

2) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение не имеет корней

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=x^4-2x^2$$. Тогда уравнение имеет вид $$g(x)=p+1$$.

Найдём производную:

$$g'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\,0,\,1$$.

Значения функции:

$$g(-1)=1-2=-1,\qquad g(0)=0,\qquad g(1)=1-2=-1.$$

Наименьшее значение функции равно $$-1$$, значит уравнение не имеет корней, если прямая $$y=p+1$$ расположена ниже этого значения:

$$p+1<-1,$$

то есть

$$p<-2.$$

3) Находим наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1$$ на заданных отрезках

Найдём производную:

$$y'(x)=4x^3-24x^2+20x=4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5).$$

Критические точки: $$x=0,1,5$$.

Вычислим значения функции в них и в концах отрезков:

$$y(0)=1,$$

$$y(1)=1-8+10+1=4,$$

$$y(5)=625-1000+250+1=-124.$$

Далее для каждого отрезка:

$$[2;3]$$
$$y(2)=16-64+40+1=-7,$$
$$y(3)=81-216+90+1=-44.$$
Наименьшее значение: $$-44$$, наибольшее: $$-7$$.
$$[-1;2]$$
$$y(-1)=1+8+10+1=20,$$
$$y(2)=-7.$$
Наименьшее значение: $$-7$$, наибольшее: $$20$$.
$$[-1;6]$$
$$y(-1)=20,\qquad y(6)=1296-1728+360+1=-71.$$
С учётом внутренней критической точки $$x=5$$ получаем:
наименьшее значение $$-124$$, наибольшее $$20$$.
$$[1;4]$$
$$y(4)=256-512+160+1=-95.$$
Наименьшее значение: $$-95$$, наибольшее: $$4$$.
$$[-2;2]$$
$$y(-2)=16+64+40+1=121,$$
$$y(2)=-7.$$
Наименьшее значение: $$-7$$, наибольшее: $$121$$.
$$[0;6]$$
$$y(0)=1,\qquad y(6)=-71,\qquad y(5)=-124.$$
Наименьшее значение: $$-124$$, наибольшее: $$4$$.