Упр.18.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^3-12x^2+36x-11$$ на отрезке: а) $$[0;1]$$; в) $$[-1;7]$$; д) $$[1;4]$$; б) $$[-1;3]$$; г) $$[-2;0]$$; е) $$[0;7]$$.
Найдём производную функции:
$$y=x^3-12x^2+36x-11$$
$$y'(x)=3x^2-24x+36=3(x^2-8x+12)=3(x-2)(x-6)$$
Критические точки: $$x=2$$ и $$x=6$$.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения на отрезке, вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках, если они принадлежат отрезку.
а) $$[0;1]$$
$$y(0)=-11$$
$$y(1)=1-12+36-11=14$$
Наименьшее значение: $$-11$$, наибольшее значение: $$14$$.
б) $$[-1;3]$$
$$y(-1)=-1-12-36-11=-60$$
$$y(2)=8-48+72-11=21$$
$$y(3)=27-108+108-11=16$$
Наименьшее значение: $$-60$$, наибольшее значение: $$21$$.
в) $$[-1;7]$$
$$y(-1)=-60$$
$$y(2)=21$$
$$y(6)=216-432+216-11=-11$$
$$y(7)=343-588+252-11=-4$$
Наименьшее значение: $$-60$$, наибольшее значение: $$21$$.
г) $$[-2;0]$$
$$y(-2)=-8-48-72-11=-139$$
$$y(0)=-11$$
Наименьшее значение: $$-139$$, наибольшее значение: $$-11$$.
д) $$[1;4]$$
$$y(1)=14$$
$$y(2)=21$$
$$y(4)=64-192+144-11=5$$
Наименьшее значение: $$5$$, наибольшее значение: $$21$$.
е) $$[0;7]$$
$$y(0)=-11$$
$$y(2)=21$$
$$y(6)=-11$$
$$y(7)=-4$$
Наименьшее значение: $$-11$$, наибольшее значение: $$21$$.
Ответ
а) $$-11$$; $$14$$.
б) $$-60$$; $$21$$.
в) $$-60$$; $$21$$.
г) $$-139$$; $$-11$$.
д) $$5$$; $$21$$.
е) $$-11$$; $$21$$.
