Упр.18.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^3-9x^2+24x-1$$ на отрезке: а) $$[1;1]$$; б) $$[-1;5]$$; в) $$[1;4]$$; г) $$[0;3]$$; д) $$[-2;0]$$; е) $$[1;5]$$.

Подробный ответ

Найдём производную функции:

$$y=x^3-9x^2+24x-1$$

$$y'(x)=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4)$$

Критические точки:

$$y'(x)=0 \Rightarrow x=2,\; x=4$$

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y(2)=8-36+48-1=19$$

$$y(4)=64-144+96-1=15$$

Теперь найдём значения функции на концах каждого отрезка и сравним их с значениями в критических точках, если они принадлежат отрезку.

$$[-1;1]$$
$$y(-1)=-1-9-24-1=-35$$
$$y(1)=1-9+24-1=15$$
Наименьшее: $$-35$$, наибольшее: $$15$$.
$$[-1;5]$$
$$y(-1)=-35$$
$$y(5)=125-225+120-1=19$$
Также на отрезке лежат точки $$x=2$$ и $$x=4$$:
$$y(2)=19,\quad y(4)=15$$
Наименьшее: $$-35$$, наибольшее: $$19$$.
$$[1;4]$$
$$y(1)=15$$
$$y(4)=15$$
$$y(2)=19$$
Наименьшее: $$15$$, наибольшее: $$19$$.
$$[0;3]$$
$$y(0)=-1$$
$$y(3)=27-81+72-1=17$$
$$y(2)=19$$
Наименьшее: $$-1$$, наибольшее: $$19$$.
$$[-2;0]$$
$$y(-2)=-8-36-48-1=-93$$
$$y(0)=-1$$
Наименьшее: $$-93$$, наибольшее: $$-1$$.
$$[1;5]$$
$$y(1)=15$$
$$y(5)=19$$
$$y(2)=19,\quad y(4)=15$$
Наименьшее: $$15$$, наибольшее: $$19$$.