Упр.18.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=5x^2-10x+4; в) y=3x^2-8x+5;
б) y=2x^3-3x^2; г) y=2x^3+3x^2. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) y=0,5ln(x^5), [1; e]; г) y=ln(x), [1/e; e^2];
б) y=lg(x), [2; 10]; д) y=2lg(x), [1; 20];
в) y=3log_0,2(x), [2; 1]; е) y=log_(1/3)(x), [0,3; 3].
а) $$y=5x^2-10x+4$$
Найдём производную:
$$y'(x)=10x-10=10(x-1).$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=1.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола ветвями вверх. Значит, в точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y(1)=5-10+4=-1.$$
Следовательно, область определения $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$E(y)=[-1;+\infty).$$
б) $$y=2x^3-3x^2$$
Найдём производную:
$$y'(x)=6x^2-6x=6x(x-1).$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<0$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$0<x<1$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y'(x)>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=2-3=-1.$$
Точка $$x=0$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
Область определения $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
в) $$y=3x^2-8x+5$$
Найдём производную:
$$y'(x)=6x-8.$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, в этой точке достигается минимум:
$$y\!\left(\frac{4}{3}\right)=3\cdot\frac{16}{9}-8\cdot\frac{4}{3}+5=\frac{16}{3}-\frac{32}{3}+5=-\frac{1}{3}.$$
Следовательно, $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=\left[-\frac{1}{3};+\infty\right).$$
г) $$y=2x^3+3x^2$$
Найдём производную:
$$y'(x)=6x^2+6x=6x(x+1).$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=0.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<-1$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$-1<x<0$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>0$$ имеем $$y'(x)>0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-1;0].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=-2+3=1,$$
$$y(0)=0.$$
Точка $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
Область определения $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
а) $$y=0{,}5\ln(x^5), \quad [1;e]$$
На отрезке $$[1;e]$$ функция $$\ln(x^5)=5\ln x$$, поэтому
$$y=0{,}5\cdot 5\ln x=2{,}5\ln x.$$
Так как $$\ln x$$ возрастает, на отрезке минимум и максимум достигаются на концах:
$$y(1)=2{,}5\ln 1=0,$$
$$y(e)=2{,}5\ln e=2{,}5.$$
б) $$y=\lg x, \quad [2;10]$$
Функция $$\lg x$$ возрастает, значит:
$$y(2)=\lg 2,$$
$$y(10)=\lg 10=1.$$
в) $$y=3\log_{0{,}2}x, \quad [2;1]$$
Так как основание $$0{,}2<1$$, функция $$\log_{0{,}2}x$$ убывает. На отрезке $$[1;2]$$:
$$y(1)=3\log_{0{,}2}1=0,$$
$$y(2)=3\log_{0{,}2}2=\log_{0{,}2}8.$$
г) $$y=\ln x, \quad \left[\frac{1}{e};e^2\right]$$
Функция $$\ln x$$ возрастает, поэтому:
$$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\ln\frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1,$$
$$y(e^2)=\ln e^2=2.$$
д) $$y=2\lg x, \quad [1;20]$$
Функция $$2\lg x$$ возрастает, значит:
$$y(1)=2\lg 1=0,$$
$$y(20)=2\lg 20=2+2\lg 2.$$
е) $$y=\log_{\frac13}x, \quad [0{,}3;3]$$
Так как основание $$\frac13<1$$, функция убывает. Поэтому:
$$y(0{,}3)=\log_{\frac13}0{,}3,$$
$$y(3)=\log_{\frac13}3=-1.$$
Ответ
Построение графиков:
а) минимум в точке $$\left(1;-1\right)$$, $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(y)=[-1;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$, максимум $$0$$ при $$x=0$$, минимум $$-1$$ при $$x=1$$;
в) минимум в точке $$\left(\frac43;-\frac13\right)$$, $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(y)=\left[-\frac13;+\infty\right)$$;
г) максимум в точке $$(-1;1)$$, минимум в точке $(0;0)$, $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$.
Наибольшее и наименьшее значения:
а) $$0;\ 2{,}5$$;
б) $$\lg 2;\ 1$$;
в) $$\log_{0{,}2}8;\ 0$$;
г) $$-1;\ 2$$;
д) $$0;\ 2+2\lg 2$$;
е) $$\log_{\frac13}0{,}3;\ -1$$.
