Упр.18.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=5x^2-10x+4$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=10x-10=10(x-1).$$

   $$y'(x)=0 \Rightarrow x=1.$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола ветвями вверх. Значит, в точке $$x=1$$ достигается минимум:

   $$y(1)=5-10+4=-1.$$

   Следовательно, область определения $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$E(y)=[-1;+\infty).$$

2. б) $$y=2x^3-3x^2$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=6x^2-6x=6x(x-1).$$

   $$y'(x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$

   Исследуем знак производной:

   при $$x<0$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$0<x<1$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y'(x)>0.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1].$$

   Найдём значения в точках экстремума:

   $$y(0)=0,$$

   $$y(1)=2-3=-1.$$

   Точка $$x=0$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

   Область определения $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

3. в) $$y=3x^2-8x+5$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=6x-8.$$

   $$y'(x)=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}.$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, в этой точке достигается минимум:

   $$y\!\left(\frac{4}{3}\right)=3\cdot\frac{16}{9}-8\cdot\frac{4}{3}+5=\frac{16}{3}-\frac{32}{3}+5=-\frac{1}{3}.$$

   Следовательно, $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=\left[-\frac{1}{3};+\infty\right).$$

4. г) $$y=2x^3+3x^2$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=6x^2+6x=6x(x+1).$$

   $$y'(x)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=0.$$

   Исследуем знак производной:

   при $$x<-1$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$-1<x<0$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>0$$ имеем $$y'(x)>0.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-1;0].$$

   Найдём значения в точках экстремума:

   $$y(-1)=-2+3=1,$$

   $$y(0)=0.$$

   Точка $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

   Область определения $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

5. а) $$y=0{,}5\ln(x^5), \quad [1;e]$$

   На отрезке $$[1;e]$$ функция $$\ln(x^5)=5\ln x$$, поэтому

   $$y=0{,}5\cdot 5\ln x=2{,}5\ln x.$$

   Так как $$\ln x$$ возрастает, на отрезке минимум и максимум достигаются на концах:

   $$y(1)=2{,}5\ln 1=0,$$

   $$y(e)=2{,}5\ln e=2{,}5.$$

6. б) $$y=\lg x, \quad [2;10]$$

   Функция $$\lg x$$ возрастает, значит:

   $$y(2)=\lg 2,$$

   $$y(10)=\lg 10=1.$$

7. в) $$y=3\log_{0{,}2}x, \quad [2;1]$$

   Так как основание $$0{,}2<1$$, функция $$\log_{0{,}2}x$$ убывает. На отрезке $$[1;2]$$:

   $$y(1)=3\log_{0{,}2}1=0,$$

   $$y(2)=3\log_{0{,}2}2=\log_{0{,}2}8.$$

8. г) $$y=\ln x, \quad \left[\frac{1}{e};e^2\right]$$

   Функция $$\ln x$$ возрастает, поэтому:

   $$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\ln\frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1,$$

   $$y(e^2)=\ln e^2=2.$$

9. д) $$y=2\lg x, \quad [1;20]$$

   Функция $$2\lg x$$ возрастает, значит:

   $$y(1)=2\lg 1=0,$$

   $$y(20)=2\lg 20=2+2\lg 2.$$

10. е) $$y=\log_{\frac13}x, \quad [0{,}3;3]$$

    Так как основание $$\frac13<1$$, функция убывает. Поэтому:

    $$y(0{,}3)=\log_{\frac13}0{,}3,$$

    $$y(3)=\log_{\frac13}3=-1.$$

Ответ

Построение графиков:
а) минимум в точке $$\left(1;-1\right)$$, $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(y)=[-1;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$, максимум $$0$$ при $$x=0$$, минимум $$-1$$ при $$x=1$$;
в) минимум в точке $$\left(\frac43;-\frac13\right)$$, $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(y)=\left[-\frac13;+\infty\right)$$;
г) максимум в точке $$(-1;1)$$, минимум в точке $$(0;0)$$, $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$.

Наибольшее и наименьшее значения:
а) $$0;\ 2{,}5$$;
б) $$\lg 2;\ 1$$;
в) $$\log_{0{,}2}8;\ 0$$;
г) $$-1;\ 2$$;
д) $$0;\ 2+2\lg 2$$;
е) $$\log_{\frac13}0{,}3;\ -1$$.