Упр.18.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Функция определена на всей числовой прямой; чётная; при х>0 имеет одну точку максимума при х=22 и одну точку минимума при x=4; не ограничена.
б) Функция определена на всей числовой прямой; нечётная; при х>0 имеет одну точку максимума при х=1 и одну точку минимума при х=5. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) y=x^2-6x+11, [0; 2]; г) y=x^2+8x-13, [-2; 2];
б) y=x^2+4x-15, [-4; 1]; д) y=-x^2-6x+7, [-4; 0];
в) y=-2x^2+8x+5, [-1; 5]; е) y=3x^2-12x-7, [-1; 5].

1. а) Можно взять, например, чётную функцию с двумя симметричными экстремумами при $$x=\pm 2$$ и $$x=\pm 4$$, не ограниченную сверху и снизу. Подойдёт любой график, симметричный относительно оси $$Oy$$, с максимумом при $$x=2$$ и минимумом при $$x=4$$ на положительной полуоси.

2. б) Можно взять, например, нечётную функцию с экстремумами при $$x=\pm 1$$ и $$x=\pm 5$$, симметричную относительно начала координат.

3. а) $$y=x^2-6x+11,\quad [0;2]$$

   Найдём критическую точку:

   $$y'(x)=2x-6$$

   $$2x-6=0,\quad x=3$$

   Точка $$x=3$$ не принадлежит отрезку $$[0;2]$$, значит, проверяем только концы отрезка:

   $$y(0)=0-0+11=11$$

   $$y(2)=4-12+11=3$$

   Наибольшее значение: $$11$$, наименьшее значение: $$3$$.

4. б) $$y=x^2+4x-15,\quad [-4;1]$$

   $$y'(x)=2x+4$$

   $$2x+4=0,\quad x=-2$$

   Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y(-4)=16-16-15=-15$$

   $$y(-2)=4-8-15=-19$$

   $$y(1)=1+4-15=-10$$

   Наибольшее значение: $$-10$$, наименьшее значение: $$-19$$.

5. в) $$y=-2x^2+8x+5,\quad [-1;5]$$

   $$y'(x)=-4x+8$$

   $$-4x+8=0,\quad x=2$$

   $$y(-1)=-2-8+5=-5$$

   $$y(2)=-8+16+5=13$$

   $$y(5)=-50+40+5=-5$$

   Наибольшее значение: $$13$$, наименьшее значение: $$-5$$.

6. г) $$y=x^2+8x-13,\quad [-2;2]$$

   $$y'(x)=2x+8$$

   $$2x+8=0,\quad x=-4$$

   Точка $$x=-4$$ не принадлежит отрезку $$[-2;2]$$, поэтому проверяем концы:

   $$y(-2)=4-16-13=-25$$

   $$y(2)=4+16-13=7$$

   Наибольшее значение: $$7$$, наименьшее значение: $$-25$$.

7. д) $$y=-x^2-6x+7,\quad [-4;0]$$

   $$y'(x)=-2x-6$$

   $$-2x-6=0,\quad x=-3$$

   $$y(-4)=-16+24+7=15$$

   $$y(-3)=-9+18+7=16$$

   $$y(0)=7$$

   Наибольшее значение: $$16$$, наименьшее значение: $$7$$.

8. е) $$y=3x^2-12x-7,\quad [-1;5]$$

   $$y'(x)=6x-12$$

   $$6x-12=0,\quad x=2$$

   $$y(-1)=3+12-7=8$$

   $$y(2)=12-24-7=-19$$

   $$y(5)=75-60-7=8$$

   Наибольшее значение: $$8$$, наименьшее значение: $$-19$$.

Ответ

а) можно построить чётную неограниченную функцию с максимумом при $$x=2$$ и минимумом при $$x=4$$;
б) можно построить нечётную функцию с максимумом при $$x=1$$ и минимумом при $$x=5$$;
а) $$3,\ 11$$;
б) $$-19,\ -10$$;
в) $$-5,\ 13$$;
г) $$-25,\ 7$$;
д) $$7,\ 16$$;
е) $$-19,\ 8$$.