Упр.18.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$5^{2x}\left(5^{2x}+5^{4-2x}-130\right)?0$$;
2. $$6^{4x}\left(6^{2x+1}+6^{1-2x}-36\right)?0$$;
3. $$7^x\left(7^{3x+1}+7^{-3x}-8\right)?0$$;
4. $$16^x\left(2^{3x+1}+2^{4-3x}-12\right)?0$$.

1. а)

   $$5^{2x}\bigl(5^{2x}+5^{4-2x}-130\bigr)\ge 0$$
   $$5^{4x}+5^4-130\cdot 5^{2x}\ge 0$$
   $$5^{4x}-130\cdot 5^{2x}+625\ge 0$$

   Обозначим $$t=5^{2x}$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$t^2-130t+625\ge 0$$
   $$D=130^2-4\cdot 625=14400$$
   $$t_{1,2}=\frac{130\pm 120}{2}$$
   $$t_1=5,\quad t_2=125$$
   $$\bigl(t-5\bigr)\bigl(t-125\bigr)\ge 0$$

   $$t\le 5 \quad \text{или} \quad t\ge 125$$
   $$5^{2x}\le 5 \quad \text{или} \quad 5^{2x}\ge 125$$
   $$2x\le 1 \quad \text{или} \quad 2x\ge 3$$
   $$x\le \frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32$$

2. б)

   $$6^{4x}\bigl(6^{2x+1}+6^{1-2x}-36\bigr)\le 0$$
   $$6^{2x}\bigl(6^{4x}\cdot 6+6-37\cdot 6^{2x}\bigr)\le 0$$
   $$6\cdot 6^{4x}-37\cdot 6^{2x}+6\le 0$$

   Положим $$t=6^{2x}$$, тогда $$t>0$$:

   $$6t^2-37t+6\le 0$$
   $$D=37^2-4\cdot 6\cdot 6=1225$$
   $$t_{1,2}=\frac{37\pm 35}{12}$$
   $$t_1=\frac16,\quad t_2=6$$
   $$\left(t-\frac16\right)(t-6)\le 0$$

   $$\frac16\le t\le 6$$
   $$\frac16\le 6^{2x}\le 6$$
   $$-1\le 2x\le 1$$
   $$-\frac12\le x\le \frac12$$

3. в)

   $$7^x\bigl(7^{3x+1}+7^{-3x}-8\bigr)\ge 0$$
   $$7^{3x}\cdot 7+7^{-3x}-8\ge 0$$
   $$7\cdot 7^{6x}-8\cdot 7^{3x}+1\ge 0$$

   Обозначим $$t=7^{3x}$$, тогда $$t>0$$:

   $$7t^2-8t+1\ge 0$$
   $$D=8^2-4\cdot 7\cdot 1=36$$
   $$t_{1,2}=\frac{8\pm 6}{14}$$
   $$t_1=\frac17,\quad t_2=1$$
   $$\left(t-\frac17\right)(t-1)\ge 0$$

   $$t\le \frac17 \quad \text{или} \quad t\ge 1$$
   $$7^{3x}\le \frac17 \quad \text{или} \quad 7^{3x}\ge 1$$
   $$3x\le -1 \quad \text{или} \quad 3x\ge 0$$
   $$x\le -\frac13 \quad \text{или} \quad x\ge 0$$

4. г)

   $$16^x\bigl(2^{3x+1}+2^{4-3x}-12\bigr)\le 0$$
   $$2^{4x}\bigl(2\cdot 2^{3x}+16\cdot 2^{-3x}-12\bigr)\le 0$$
   $$2\cdot 2^{6x}-12\cdot 2^{3x}+16\le 0$$
   $$2^{6x}-6\cdot 2^{3x}+8\le 0$$

   Пусть $$t=2^{3x}$$, тогда $$t>0$$:

   $$t^2-6t+8\le 0$$
   $$D=6^2-4\cdot 8=4$$
   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
   $$t_1=2,\quad t_2=4$$
   $$(t-2)(t-4)\le 0$$

   $$2\le t\le 4$$
   $$2\le 2^{3x}\le 4$$
   $$1\le 3x\le 2$$
   $$\frac13\le x\le \frac23$$

Ответ

а) $$(-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac32;+\infty)$$;
б) $$[-\tfrac12;\tfrac12]$$;
в) $$(-\infty;-\tfrac13]\cup[0;+\infty)$$;
г) $$[\tfrac13;\tfrac23]$$.