Упр.18.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(?/4)-sin^2(?/4)+sin^3(?/4)-…+(-1)^(n+1)sin^n(?/4)+…;
б) tg(5?/6)+tg^2(5?/6)+tg^3(5?/6)+…+tg^n(5?/6)+…;
в) cos(?/3)+cos^2(?/3)+cos^3(?/3)+…+cos^n(?/3)+…;
г) ctg(2?/3)+ctg^2(2?/3)+ctg^3(2?/3)+…+ctg^n(2?/3)+… . Найдите область значений функции:
а) y=x^4 /(x^4+1); в) y=3x/(x^2+3);
б) y=v(2x-6)-x; г) y=x-v(3x-3).

1. а) Рассмотрим сумму как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

   $$b_1=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \quad q=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.$$

2. б) Здесь

   $$b_1=\tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}, \quad q=\tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{1-\sqrt3}{2}.$$

3. в) Имеем

   $$b_1=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12, \quad q=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1.$$

4. г) Получаем

   $$b_1=\ctg\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt3}, \quad q=\ctg\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

   Значит,

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{1-\sqrt3}{2}.$$

Найдём области значений функций.

1. а) $$y=\frac{x^4}{x^4+1}.$$

   Так как $$x^4\ge 0,$$ то $$y\ge 0.$$ При $$x=0$$ получаем $$y=0,$$ а при $$x\to\infty$$ имеем

   $$y=\frac{x^4}{x^4+1}\to 1.$$

   Значит,

   $$E(y)=[0;1).$$

2. б) $$y=\sqrt{2x-6}-x.$$

   Область определения: $$2x-6\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$

   Положим $$t=\sqrt{2x-6}\ge 0.$$ Тогда $$x=\frac{t^2+6}{2},$$ и

   $$y=t-\frac{t^2+6}{2}=-\frac12 t^2+t-3.$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Максимум достигается при

   $$t=\frac{-1}{2\cdot(-1/2)}=1,$$

   тогда

   $$y_{\max}=-\frac12+1-3=-\frac52.$$

   При $$t\to\infty$$ значение $$y\to -\infty.$$ Поэтому

   $$E(y)=(-\infty;-\frac52].$$

3. в) $$y=\frac{3x}{x^2+3}.$$

   Найдём экстремумы:

   $$y'(x)=\frac{3(x^2+3)-6x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}.$$

   $$y'(x)=0 \iff x=\pm\sqrt3.$$

   Вычислим значения функции:

   $$y(-\sqrt3)=\frac{-3\sqrt3}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}, \quad y(\sqrt3)=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[-\frac{\sqrt3}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right].$$

4. г) $$y=x-\sqrt{3x-3}.$$

   Область определения: $$3x-3\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

   Положим $$t=\sqrt{3x-3}\ge 0.$$ Тогда $$x=\frac{t^2+3}{3},$$ и

   $$y=\frac{t^2+3}{3}-t=\frac13 t^2-t+1.$$

   Это парабола, ветви направлены вверх. Минимум при

   $$t=\frac{1}{2\cdot(1/3)}=\frac32,$$

   тогда

   $$y_{\min}=\frac13\cdot\frac94-\frac32+1=\frac14.$$

   Значит,

   $$E(y)=\left[\frac14;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$\sqrt2-1$$; б) $$\frac{1-\sqrt3}{2}$$; в) $$1$$; г) $$\frac{1-\sqrt3}{2}$$.

Область значений: а) $$[0;1)$$; б) $$(-\infty;-\frac52]$$; в) $$\left[-\frac{\sqrt3}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right]$$; г) $$\left[\frac14;+\infty\right).$$